（精）利用导数研究函数的极值.ppt

[一点通]　求函数在闭区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点： (1)对函数进行准确求导； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值； (3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论． 答案：C [例4]　已知f(x)＝ln x－x＋a，x∈(0,2]． 若f(x)a2－3对任意的x∈(0,2]恒成立，求实数a的取值范围． [一点通]　解决恒成立问题常用的方法是转化为求函数的最值问题，通过分离参数，要使mf(x)恒成立，只要m大于f(x)的最大值即可；同理，要使mf(x)恒成立，只需mf(x)的最小值即可． 7．已知不等式ex≥x＋a对任意x∈R恒成立，求a的取值范围． 解：令f(x)＝ex－x，则f′(x)＝ex－1， 由f′(x)0得x0，由f′(x)0得x0， ∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数， x＝0时f(x)取最小值f(0)＝1，由于a≤ex－x对任意x∈R恒 成立． ∴a≤1，即a的取值范围为(－∞，1]． 8．设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t0)． (1)求f(x)的最小值h(t)； (2)若h(t)－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t0)， ∴当x＝－t时，f(x)取得最小值f(－t)＝－t3＋t－1， 即h(t)＝－t3＋t－1. (2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝ －3t2＋3＝0得t1＝1，t2＝－1(不符合题意，舍去)．列表： t (0,1) 1 (1,2) g′(t) ＋ 0 － g(t) ↗ 1－m ↘  ∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m. ∴h(t)－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒 成立， 即等价于1－m0. ∴m的取值范围为(1，＋∞)． 1．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间(a，b)上的单调函数没有极值． 2．在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时，若方程f(x)＝0的实数根较多时，应注意使用表格，使极值点的确定一目了然． 3．求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数值为0的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值． 4．若函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，在区间(a，b)内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点． 点击下图进入“应用创新演练” 返回 3.3 3.3.2 利用导数研究函数的极值 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 考点一 考点二 第三章 导数及其应用 考点三 知识点一 知识点二 考点四 3．3.2　利用导数研究函数的极值 在群山之中，各个山峰的顶端， 虽然不一定是群山的最高处，但它却 是其附近所有点的最高点．同样，各 个谷底虽然不一定是群山之中的最低 处，但它却是附近所有点的最低点．群山的最高处是所有山峰中的最高者的顶部，群山中的最低处是所有谷底中的最低者的底部．如图是函数y＝f(x)的图象． 问题1：y＝f(x)在x＝a处的导数f′ (a)等多少？ 提示：f′(a)＝0. 问题2：当x＝a时，f(x)取最大值吗？ 提示：不是，但f(a)比x＝a附近的函数值都大． 问题3：在x＝a附近两侧导数f′(x)的符号有什么特点？ 提示：左侧f′(x)0，右侧f′(x)0. 问题4：当x＝d时，请回答以上问题． 提示：①f′(d)＝0；②f(d)比x＝d附近的函数值都小；③在x＝d附近左侧f′(x)0，右侧f′(x)0. 1．极值点与极值的概念 已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作 ，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作 ，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．