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两个平面平行的判定和性质 * * 高一数学备课组 童良春 一. 面、面平行的定义与表示方法 平行平面的定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做平行平面. 记作α//β. 1.两个平面的位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面相交 两平面平行 位置关系 没有公共点 有一条公共直线 2. 平行平面的画法：在画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行线. 一般画法 错误画法 3． 平面与平面平行的判定定理 ①文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. A ②图形语言： ③符号语言： 请注意红框中内容： 判定定理简而言之为：两平行，一相交。 证明：假设α∩β＝c. ∵a∥β, a α, ∴a∥c.同理b∥c. 于是在平面内过点A有两条直线与c平行，这与 平行公理矛盾， 假设不成立. ∴ α∥β. ④定理证明： A 练习： 判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行； （2）若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，则α与β平行； （3）平行于同一直线的两个平面平行； × × × （4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行； （5）a、b为异面直线，且分别在平面α和β内，若 a// β , b // α ,则α//β。 (6)过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面． × × √ 例1. 如图，在长方体 中， 求证：平面 平面 . A B D C D C B A 证明： 是平行四边形 平面 平面 又 平面 平面 同理： 平面 平面 思考：如果两个平面平行，那么 （1）一个平面内的直线是否平行于另一个平面？ 由思考一可以得到证明线面平行的另一种方法， 即可以用面面平行证明线面平行 （2）分别在两个平面内的两条直线是否平行？ （可以由反证法说明） （线面无交点） 4 .平面与平面平行的性质定理: 符号语言：α//β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a//b. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 与 没有公共点 与 也没有公共点 证明: 已知： α//β，α∩γ=a，β∩γ=b，求证：a//b. 5.两个平行平面的距离： ①公垂线： ②公垂线段： ③两个平行平面间的距离： 与两个平行平面都垂直的直线 夹在两个平行平面之间的公垂线部分 公垂线段的长度 例2：求证：如果一条直线垂直于两个平行 平面中的一个平面，那么它也垂直于 另一个平面。 已知： 求证： A b a b a // // T ? t ? y ü = = g b g a b a I I 证明：设 ,在平面 内任取 直线 例3.求证：如果两个平面同时垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。 A B C 练习2.（1）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. 已知：平面α//平面β//平面γ，两条直线l，m分别与平面α、平面β、平面γ相交于点A、B、C和点D、E、F， 求证： 证明：连接DC，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG， 平面DCF与平面β，γ分别相交于 直线GE，CF， 因为 α//β，β//γ，所以BG//AD，GE//CF， 于是得 所以