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平面和平面平行的判定和性质 三、两个平面平行的性质 （1）一个结论 * * （1）两个平面平行 如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行． （3）两个平面的位置关系只有两种: ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线． （2）两个平面相交 如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，我们说这个平面相交． 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行， 如图1，而不应画成图2那样． 图1 图2 （4）两个平面平行的画法 思考题： 1、如果一个平面内的一条直线与另一个平面 平行，能否说明平面与平面平行？ 2、要求一个平面内的多少条直线与另一个平 面平行才可判定两个平面平行呢？ 通过上面的两个问题，我们感觉到判定面面平行转化为线面平行时不是条数的问题，而是要求一个平面内的直线之间具备某种关系。 二、两个平面平行的判定 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． M 已知：在平面 内有两条直线 、 相交且和 平面 平行． 求证： 证明：(用反证法) 假设 ． 同理 这与题设 和 是相交直线矛盾． A 推论:如果一个平面内有两条相交 直线分别平行与另一个平面内的两条直 线，那么这两个平面平行。 m n m∩n=B m∩n=B B m∩n=B 例１:如图已知正方体 求证: 1 1 1 1 D A B D C B C A C D A B A1 B1 C1 D1 2、棱长为a的正方体中，E、F、G分别为中点. 求证：平面EFG//平面A1BD. E F G 练习： 3、已知P在△ABC所在的平面外，点A’、B’、C’分别是△PAB、△PBC、△PAC的重心。 求证：平面A’B’C’∥平面ABC. A B C P D E F A′ B′ C′ 思考：能否求出△ A’B’C’与△ ABC的面积之比？ 练习： 根据两个平面平行及直线和平面平行的定义，容易得出下面的结论： 即：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面． 性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 即： （2）两个平面平行的性质定理 例2:已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD的中点. B A C D E F P Q R 求证：PQ∥平面BCE。 例3：求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等. 已知:平面 //平面 ,AB和DC为夹在 、 间的平行线段。 求证：AB=DC B C A D 证明： ∴AB,DC确定平面AC 又因为AD,BC分别是平面AC 与平面 、 的交线. ∴AD//BC，四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB=DC. M N E P α A C B D β 例4：平面α//β，AC 、 BD是夹在α 、 β内的异面直线，M、N分别是AB、CD的中点， 求证：MN// β G 连接AD，取AD中点G 在ΔABD中， ∵ ∴MG//β 同理GN// α,因α//β ∴GN//β ∴平面MNG//β ∴MN//β 证明： MG//DB * *