（精）5-2 中心极限定理.ppt

第二节 中心极限定理（重点） 二、李雅普诺夫中心极限定理 三、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 主要内容（1.5学时） 一、独立同分布的中心极限定理 二、李雅普诺夫中心极限定理 三、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 背景： 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成的. 例如：炮弹射击的 落点与目标的偏差， 就受着许多随机因 素（如瞄准，空气 阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布 ？ 背景： 客观实际中，许多随机现象服从或近似服从正态分布。 中心极限定理指出，在适当的条件下，大量相互独立的 随机变量（不服从正态分布）之和近似服从正态分布。 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量. 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理. 一、独立同分布的中心极限定理 说明： 设 为独立同分布随机变量序列，且 则由大数定理，对于任意的ε＞0有 . 大数定律并未给出 的表达式,但保证了其极限是1. 大数定律与中心极限定理的区别： 大数定律与中心极限定理的区别： 而在以上同一条件下，独立同分布的中心极限定理亦成立，这时，对于任意的ε＞0及某固定的n，有 由于 ，因此，在所给条件下，中心极限定理不仅给出了概率的近似表达式，而且也能保证了其极限是1，可见中心极限定理的结论更为深入。 小概率事件, 即实际中几乎不可能发生. 即1小时内最多为33位顾客服务 当 , 但不服从同一分布时: ) , 2 , 1 ( , ) ( , ) ( , , , 2 2 1 L L L = = = k X D X E X X X k k k k n s m 有数学期望和方差： 相互独立，它们具 设随机变量 注意 : 说明： 例. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦. 问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产? 用X表示在某时刻工作着的车床数， 解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验 是观察该台车床在某时刻是否工作, 工作的概率0.6 ,共进行200次独立重复试验. 依题意， X~B(200,0.6), 现在的问题是： P(1*X≤N)≥0.999 的最小的N. 求满足 设需N千瓦， （由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.） 由中心极限定理 近似N(0,1), 于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N) 这里 np=120, np(1-p)=48 由3σ准则， 此项为0。 从中解得N≥141.5, 即所求N=142. 也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产. ≥ 3.1, 故 查正态分布函数表得