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第三讲 最值问题 知识概述 最值问题的特点是涉及到的知识多，且与生活联系紧密，如最省人力问题，最短路线问题，最省运费问题等，灵活性强，没有固定的解法，解题时要善于综合运用各种知识， 精选例题 例1. 下面等式中，B应是什么数是时，才能使A最大？。 【分析与解】 师：在一个代余除法算式里面，分为四个量，被除数，除数，商和余数，那么除数和余数有什么关系？ 生：余数必须小于除数。 被除数=除数×商+余数=126×14+B，B要小于除数126，那么最大为125。 所以，当B=125的时候，A最大，最大为1889。 例2.把17分成两个自然数的和，使得它们的乘积最大，应该怎样分？【跟例3一起讲】 例3，把6分成几个自然数的和，再求这几个自然数的乘积，问应怎样分，才能使所得的乘积最大？17呢？ 【分析与解】 师：第一小问，有人知道如何来分吗？举手回答。 生：分成8和9。 师：很好，你能不能告诉我这个问题的规律呢？两个数是应该靠的越近越好还是越远越好？ 生：越近越好。 师：恩，对。以后遇到这种类似的要把一个数拆成两个数，让他们的和最大的问题，我们就可以把他拆成两个最接近的数。好，大家把这样一个规律记下来：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大.接下来我们看下第二小问。回答这样一个问题，一个数拆成多个数的话，应该拆成什么样的数最合适，能不能太大，能不能太小？ 生：（思考三分钟）不能太大，因为太大可以继续拆，也不能太小，拆成1没有意义，可以拆成2或3. 师：那么是拆成2好还是3好？如果拆成2的数目太多行不行？ 生：不行，因为3个2不如拆成2个3. 师：那我们是不是也可以总结出一个规律来：不拆1，少拆2，多拆3. 例4. （1）请将1、2、3、4填入算式“” 的方格中。要使得算式结果最大，应该怎么填？ （2）请将1、2、3、4、5、6填入算式“”的方格中，要求5、6分别填在百位，4、3分别填在十位，1、2分别填在个位，并使得算式结果最大。应该怎么填？ 【分析与解】 师：要想使结果最大，我们应该先填十位还是个位？ 生：十位。 师：十位应该怎么填？是不是肯定应该填大数3和4啊，好接下来的1和2我们怎么来搭配呢？有没有谁能把刚才我们抄在书上的那句话复述出来？ 生：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。 师：这句话和我们这里的题有没有关系，不管1和2在哪里，是不是属于两个数的和都是73啊，要想乘积最大，应该让两数的差尽量？ 生：（学生齐答）小. 师：因此，结果应该是41×32=1312.好，再看第二问，应该先填高位还是低位？大家赶快填一下看。 （给学生一分钟时间让自己填） 师：百位先填6和5，然后十位一定填3和4,4和5搭配，3和6搭配，2和5搭配，1和6搭配. 小结：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。 过渡语：通过上面的小结来做下面的题目。 例5.一个四位数各位数字之和为13。这样的四位数最小可能是多少？最大可能是多少？ 【分析与解】 要求四位数最小，则从首位开始，要为1，百位为0，十位最小为3，个位是9，也就是1039； 要求四位数最大，则从首位开始，要为9，百位为4，十位个位都为0，也就是9400。 小结：这样的题目从高位逐次分析。 过渡语：进一步深入的看看下面这个问题。 例6. 一个多位数的各位数字都不相同，而且各位数字之和为18。这样的多位数最小可能是多少？最大可能是多少？ 【分析与解】 让这个多位数最小，那么使得它位数越少越好，而且各个数字都不相同，可以这样分解：18=1+8+9。所以，最小为189。 让这个多位数最大，那么使得它位数越多越好，而且各个数字都不同，考虑到1+2+3+4+5=15，还多余3个。这时就使得最高位越大越好。所以变为18=8+4+3+2+1,这时，最大为84321。 过渡语：我们来看看另外一种找最大和最小的题目。 例7.在一个十位数6566671870中划去4个数字，使剩下的6个数字（先后顺序不变）组成一个六位数，这个六位数最小是多少？最大是多少？ 【分析与解】 让这个六位数最小：考虑通过分析，最小只能为以5开头，那么前面的6必须去掉，然后要是第二高位最小，不能为1，所以会选择为6，再然后分析第三高位，可以为1,。那么这个时候，去掉了6667，最小为561870。 让这个六位数最大：最大只能是以6开头，再选择第二高位，可以选到7，这样就去掉了5666，剩下671870，作为最大数。 小结：通过前面，可以通过位数分析，从高位到低位来分辨大小。 例8. 某校六年级（4）班56人选举班长。候选人是甲乙丙三人，以得票最多的人当选。在开票中途累计时，甲得16票，乙得