（精）2011高数11章习题课.ppt

第十一章 第十一章 第一节 定义： 二、无穷级数的基本性质 性质2. 设有两个收敛级数 性质3. 性质4. 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理 正项级数及其审敛法 定理2 (比较审敛法) 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 定理3. (比较审敛法的极限形式) 定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) 定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 积分判别法 *拉贝判别法 一 、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 定理2. 绝对收敛的级数一定收敛 . *三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法 第四节 一、 函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 定理 1. ( Abel定理 ) 定理2. 若 三、幂级数的运算 四、幂级数的性质 第五节 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 定理1 . 定理2. 二、函数展开成幂级数 2. 间接展开法 第六节 第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性 定理 1. 组成三角级数的函数系 二、函数展开成傅里叶级数 定理3 (收敛定理, 展开定理) 定义在[–? ,?]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法 三、正弦级数和余弦级数 2. 在[0,?]上的函数展成正弦级数与余弦级数 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : 令 得函数项级数 ?为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 且 右端级数可逐项积分, 则有 ① ② 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 f (x) 是周期为2?的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 x 为间断点 其中 为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点 简介 目录 上页 下页 返回 结束 周期延拓 傅里叶展开 上的傅里叶级数 其它 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 周期为2? 的奇、偶函数的傅里叶级数 定理4 . 对周期为 2? 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为 周期为2?的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 , 它的傅里叶系数为 正弦级数, 它的傅里叶系数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 周期延拓 F (x) f (x) 在 [0 , ? ] 上展成 周期延拓 F (x) 余弦级数 奇延拓 偶延拓 正弦级数 f (x) 在 [0 , ? ]上展成 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引理（分部求和公式）设 为两 组实数，若令 则有如下分部求和公式成立： 证 以 分别 乘以 相加整理后就得所要证的 公式． 推论 （阿贝耳引理）若 (1) 是单调数组； (2) 设 对任一正整数 k 有 记 则有 定理5 (阿贝耳判别法) 若 { an } 为单调有界 数列，且级数∑bn 收敛，则级数∑ anbn 收敛． 定理6 (狄利克雷判别法) 若数列 { an } 单调 递减趋于零，又级数∑bn 的部分和数列有界，则级数 ∑ anbn 收敛． 定理7 （阿贝耳(Abel)判别法） 若 收敛， g(x)在 [a , +? ) 上单调有界， 则 收敛． 定理8 （狄利克雷判别法） 若 在 [a , +? ) 上有界，g(x) 在 [a , +? ) 上 当 x ? +? 时单调趋于 0，则 收敛． 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 为其收 为其发散点, 发散点的全体称为其发散域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 机动 目录 上页 下页 返回 结束 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下