（精）2013届学海导航 新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第9章第52讲 抛物线.ppt

(2)求抛物线的标准方程，需判断焦点所在的坐标轴和确定p的值．当根据已知条件不能判断是抛物线时，用轨迹法．过焦点的直线与抛物线的交点问题有时用焦半径较简单． (3)要重视抛物线定义的应用，“回归定义”有时使问题变得简捷明确．利用坐标法求曲线方程并研究其性质，体现了解析几何研究数学问题的数学思想方法． * 求抛物线的标准方程 【例1】 求定点在原点，对称轴为坐标轴，且过点(－3,2)的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程． 求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p.从实际分析，一般需确定p和开口方向两个条件，有时需要相应的讨论． 【变式练习1】 求顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程． 抛物线的几何性质 【例2】 已知A、B是抛物线y2＝2px(p0)上的两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)， (1)求证：A、B这两点的横坐标之积为定值，纵坐标之积也是定值； (2)求证：直线AB过定点； (3)求线段AB中点M的轨迹方程． p的规律性结论很多，我们都可围绕定义，同时适时运用点差法即可求得．设AB为过抛物线y2＝±2px(p0)焦点的弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ，则 【变式练习2】 设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O. 抛物线的应用 【例3】 已知点A(－1,0)，F(1,0)和抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P两点，直线MF交抛物线C于另一点Q，如图 【变式练习3】 如图，设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，M为直线y＝－2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列； 1.已知边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴．则以O为顶点且过A、B两点的抛物线方程是 _______________ 2.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则P的轨迹方程为___________ y2＝8x 3.已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为____________ 4.已知点P(3,2)在抛物线y2＝4x的内部，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点M，使|MP|＋|MF|最小，并求此最小值． 【解析】过M作准线l的垂线MA，垂足为A，则由抛物线的定义有|MF|＝|MA|.所以|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MA|，显然当P，M，A三点共线时，|MP|＋|MF|最小． 此时，M点的坐标为(1,2)，最小值为4. 5.如图，抛物线关于x轴对称， 它的顶点在坐标原点，点P(1, 2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在 抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其焦点坐标； (2)当直线PA与直线PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率． 【解析】(1)由已知条件可设抛物线的方程为y2＝2px(p0)． 因为点P(1,2)在抛物线上，所以22＝2p·1，得p＝2. 故所求抛物线的方程是y2＝4x，焦点坐标为(1,0)． (2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB， 1．由于坐标系建立时，设坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种形式，这四种标准方程的区别与联系在于： (1)p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数． (2)方程右边一次项的变量与所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线开口方向、焦点的非零坐标是一次项系数的1/4. (3)在利用抛物线定义解题时应特别注意应用“斜直转换”，即将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离互相转换．