（精）Matrix1-3线性变换.ppt

一、线性变换的概念 1. 定义 1.11 (P.220) 要点： (i) T是Vn(F)中的变换： T：Vn(F)?Vn(F)。 (ii) T具有线性性： T(?＋?)=T(?)＋T(?) T(k?)=kT(?) 例题1 Vn(F)中的相似变换T? ：?是F中的数, ???Vn(F), T?(?)=?? 。 特例： ?=1 , T ?是恒等变换, ?=0 , T?是零变换。 2. 线性变换的性质： (i)T(0)=0 (ii) T(-?)=-T(?) (iii)? 例题27 求Fn线性空间中的变换TA:Y=AX的象空间和零空间。 4. 线性变换的运算 设T1, T2都是空间Vn(F)中的线性变换, 常见的用它们构成的新的变换： (i) T1＋T2 ? ???Vn(F), (T1＋T2)(?)=T1(?)＋T2(?) (ii) T1T2 ? ???Vn(F), (T1T2)(?)=T1(T2(?)) (iii) kT ? ???Vn(F), (kT)(?)=k(T(?)) (iv) 若T 是可逆变换, T－1 ? T－1(?)= ?当且仅当T(?)=?。 1. 线性变换的矩阵与变换的坐标式 Vn(F)上线性变换的特点分析： 例题1 对线性变换 : P4 [X] P4 [X], 求D在基{1, X, X2, X3}下的变换矩阵。 2 求向量 在变换D下的象。 2. 线性变换运算的矩阵对应： 设Vn(F)上的线性变换T1, T2, 它们在同一组基下的矩阵：T1?A1；T2?A2 (i) (T1＋T2) ?(A1＋A2) (ii) (T1T2) ? A1A2 (iii) (kT) ? kA (iv) T－1 ? A－1 3. 不同基下的变换矩阵 两组基：{?1, ?2, …, ? n }, {?1, ?2, …, ? n }, (?1?2…? n)=(?1?2…? n)C T(?1 ?2… ? n)=(?1 ?2… ? n)A T(?1 ?2 … ? n)=(?1 ?2 … ? n)B ??????? 设单位向量u=(2/3, -2/3, -1/3), 给定R3上的线性变换 P(x)= x -(x, u)u, 求P在自然基{e1, e2, e3}下的变换矩阵。 求P在标准正交基{u, e2, e3}下的变换矩阵。 三、不变子空间 问题的背景： 变换矩阵的化简和空间的分解的对应关系 1. 不变子空间的概念 矩阵简化要求空间分解的特点 不变子空间的定义(p229, 定义6.2-3) 2. 不变子空间的判别 W是T的不变子空间 ?? ?W ?T(?) ?W。 R3上的正交投影P： P(x)= x–(x, u)u, 其中u是单位向量。 证明： L(u)和 u ? ={x ：(x, u)=0} 是P的不变子空间。 3. 空间分解与矩阵分解 Vn(F)=W?U, W, U是T的不变子空间 , 四、 正交变换和酉变换 讨论内积空间[V；(?, ?)] 中最重要的一类变换。 1. 定义(P238, 定义6.3-2) 2. 正交(酉)变换的充要条件： (定理6.3-1, P238)T是内积空间V(F)上的线性变换, 则下列命题等价： T是正交变换 T保持向量的长度不变 T把V(F)的标准正交基变成标准正交基 T在标准正交基下的矩阵是正交矩阵 3. 正交矩阵和酉矩阵的性质 正交矩阵C：CTC=I 酉矩阵U： UHU=I (P.60)  常见的基本正交变换： 平面上的旋转 几何描述：绕坐标原点, 逆时针旋转一个? 角。 变换矩阵：在自然基下, 例题1 求R3中绕过原点、以 u=(1, 1, 1)T为正向的直线, 顺u方向看去是逆时针的旋转变换T在R3中自然基下的变换矩阵。 五、线性空间Vn(F) Vm(F)的线性变换 1. 定义 1.16 (P.220) 要点： (i)???Vn(F), ?=T(?) ? Vm(F) (i