（精）常微分第三章.ppt

* * * 克莱罗微分方程有奇解。 * 数值解是微分方程的初值问题的解。 * 数值解是微分方程的初值问题的解。 * 数值解是微分方程的初值问题的解。 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 命题1的证明直接验证即可。 * * * * * 到此证明了积分方程解的存在性。 * 到此证明了积分方程解的存在性。 * 命题5证明积分方程解的唯一性。 * 命题5证明积分方程解的唯一性。 * 命题5证明积分方程解的唯一性。 * 命题5证明积分方程解的唯一性。 * 命题5证明积分方程解的唯一性。 * 命题5证明积分方程解的唯一性。 * * * * * * * * * * * §3.2 解对初值的连续和可微性 3. 解对初值和参数的连续依赖性 解对初值和参数的连续依赖定理 设 f (x, y, ?)在 D?内连续, 且在 D?内关于 y一 致地满足局部利普希茨条件, 对(x0, y0, ?0)?G, y ?? (x, x0, y0, ?0)是方程(3.1)?通过点(x0, y0)的解, 在区间a ? x ? b上有定义, 其中a ? x0 ? b, 那么, 对 任意给定的? ?0, 可以找到正数? ?? (?, a, b), 使 得当 §3.2 解对初值的连续和可微性 时, 方程(3.1)?的通过点 的解 在区间a?x?b上也有定义, 并且 §3.2 解对初值的连续和可微性 解对初值和参数的连续性定理 设 f (x, y, ?)在 D?内连续, 且在 D?内关于 y一 致地满足局部利普希茨条件, 则方程(3.1)?的解 y ?? (x, x0, y0, ?)作为x, x0, y0, ?的函数在其存在 范围内是连续的. §3.2 解对初值的连续和可微性 三、解对初值的可微性 解对初值的可微性定理 若函数 f (x, y)以及 都在区域G内连续, 则方程(3.1)的解 y ?? (x, x0, y0, ?) 作为x, x0, y0的函数在其存在范围内连续可微. §3.2 解对初值的连续和可微性 解对初值的可微性定理的证明 利用微分方程与积分方程解的等价性, 由 偏导数的定义, 将差商与一个微分方程的初值 问题联系起来, 通过求初值问题的解得到所需 微分方程解对初值的可微性, 而对于自变量的 可微性由微分方程与积分方程解的等价性直 接通过求解对自变量的偏导数可得. §3.2 解对初值的连续和可微性 设由初值(x0, y0)和(x0?? x0, y0)所确定的解 分别为 §3.2 解对初值的连续和可微性 §3.2 解对初值的连续和可微性 §3.2 解对初值的连续和可微性 由解对初值和参数的连续性定理可知 存在, 且由 §3.2 解对初值的连续和可微性 §3.2 解对初值的连续和可微性 是初值问题 的解, 易知 §3.2 解对初值的连续和可微性 设由初值(x0, y0)和(x0, y0?? y0)所确定的解 分别为 §3.2 解对初值的连续和可微性 §3.2 解对初值的连续和可微性 §3.2 解对初值的连续和可微性 §3.2 解对初值的连续和可微性 解对自变量x的可微性由 直接计算可得, 事实上 §3.2 解对初值的连续和可微性 作业 P103 3 §3.4 奇 解 一、包络和奇解 二、克莱罗微分方程 §3.4 奇 解 一、包络和奇解 1. 包络 包络 设给定单参数曲线族 其中c为参数, ?(x, y, c)是x, y, c的连续可微函数. 曲线族(3.23)的包络是指这样的曲线, 它本身并不 包含在曲线族中, 但过这曲线的每一点都有曲线 族(3.23)中的一条曲线和它在这点相切. §3.4 奇 解 单参数曲线族 与直线 §3.4 奇 解 c-判别曲线 曲线族(3.23)的包络包含在由 下列方程组 消去c而得到的曲线中. 此曲线称为(3.23)的c-判别 曲线. §3.4 奇 解 2. 奇解 奇解 微分方程的某个解称为奇解, 如果在这 个解的每一点上至少还有另外一个解存在. 注1 奇解上每一点唯一性不成立. 注2 一阶微分方程的通解的包络一定是奇解; 反之, 微分方程的奇解也是微分方程通解的包络. §3.4 奇 解