代数系统练习题代数系统练习题.docx

填空题：1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点A,*中，单位元是( )，零元是( )。答：2，62、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点A,*中，单位元是( )，零元是( )；答：9，33、设a是12阶群的生成元， 则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。答： 6,44、群G,*的幂等元是(　　)，有(　　　)个。答：单位元，15、设a是10阶群的生成元， 则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。答：5，106、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。答：循环群，任一非单位元7、H,,是G,,的子群的充分必要条件是( )。答：H,,是群 或 a，b G， abH，a-1H 或 a,b G，ab-1H 8、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。答：k9、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ） (1) a*b=a-b　　(2) a*b=max{a,b}　(3) a*b=a+2b　(4) a*b=|a-b|答：(2)10、设G是所有3位二进制数构成的集合，关于异或运算，G中的幺元是（ ），011的逆元是（ ）。答：000，01111、10阶群的子群的阶数只可能是（ ）。答：1,2,5,1012、设G是群，a∈G，若|a|=12，则|a|=（ ）。答：413、设A是集合，P(A)是A的幂集，则代数系统P(A)，中幺元是（ ）；对任意T∈P(A)，T的逆元是（）。答：,T二、选择题1、在N上定义几个二元运算，其中不满足结合律的是（ ）。A. a * b = a B. a*b=a+b-5C. a*b=a+3b D. a*b=max{a，b}答：C2. 下面4个代数系统中构成群的是（ ）。A. N，+ B. {R，×}C. P(A)，U D. A，答：B3．Z，是群，下面子集中（ ）不是它的子群。 A. {1，2，4，8} B. {1，12}C. {1，3，9} D. {1，5，8，12}答：A.4. 下面集合关于相应的加法和乘法运算构成域的是（ ）。A. {a+b| a，b∈Z} B. {a+bi| a，b∈Q}C. {a+b| a，b∈Z} D.{ | a，b，c，d∈Z}答：B.5. 下面关于循环群性质的描述，错误的是（ ）。 A. 循环群必是交换群B. 循环群的子群仍然是循环群C. 设G是n阶循环群，a∈G，则a是生成元当且仅当a的阶数是nD．循环群的生成元一定是唯一的答：D.6. 设G是群，e是幺元，a，b，c∈G，则下面关于群的性质描述错误的是（ ）。 A. 若ab=b，则必有a=e B. 若b≠c，有可能ab=acC. G有唯一的幂等元 D．aG=Ga答：B.7、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。A.2阶　　B.3 阶 C. 4 阶 　D. 6 阶答：C.证明题：1、求循环群C12={e,a,a2,…,a11}中H={e,a4,a8}的所有右陪集。解：因为|C12|=12，|H|=3，所以H的不同右陪集有4 个：H，{a,a5,a9},{a2,a6,a10},{a3,a7,a11}。2、求下列置换的运算：解：（1）=（2）===5、试求出8阶循环群G=a的所有生成元和所有子群。解：设G是8阶循环群，a是它的生成元。则G={e,a,a2,..,a7}。由于ak是G的生成元的充分必要条件是k与8互素，故a,a3,a5,a7是G的所有生成元。因为循环群的子群也是循环群，且子群的阶数是G 的阶数的因子，故G的子群只能是1阶的、2阶的、4 阶的或8阶的1阶子群：{e}2阶子群：{e,a4}4 阶子群：{e,a2,a4,a6}8阶子群：G={e,a,a2,..,a7}6、设G,·是群，aG。令H={xG|a·x=x·a}。试证：H是G的子群。证明：c，dH，c·a=a·c,d·a=a·d。故(c·d)·a=c·(d·a)=c·(a·d)=(c·a)·d=(a·c) ·d=a·(c·d)。从而c·dH。由于c·a=a·c,且满足消去律，所以a·c-1=c-1·a。故c-1H。从而H 是G的