（精）第3章 动态规划(part1).ppt

第三种情况的处理：S= 返回 S’1=max{1 ? i ? n/2}{ } S’2 =max{n/2+1 ?j ? n}{ } ? ak k=i n/2 ? ak k=n/2+1 j 确定i需O(n)，确定j需O(n) S=S’1+S’2 ?ak k=i j 时间复杂度递推式 2 T(n/2) + O(n) ( n C ) O(1) ( n ? C) T(n) = 解上述递推式，得：T( n ) = O(n log n) 动态规划方法 思想：对a[1:j]，记b[j]，1 ?j ?n ?ak k=i j b[j]=max {1 ?i ?j} { } a[1:n]的最大子段和S= max {1 ?j ?n} max {1 ?i ?j} ?ak k=i j =max {1 ?j ?n} {b[j]} 而b[j]=max{b[j-1]+a[j]，a[j]} b[j-1]0时 动态规划-程序 int MaxSum(int n, int *a) { int s = 0, b = 0; for (int i = 1;i = n;i ++ ) { if (b 0) b += a[i]; else b = a[i]; if (b sum) sum = b; } return sum; } 返回 复杂性O(n) 最大子段和的推广 2维--最大子矩阵和问题的求解算法 1维--最大m子段和问题的求解算法 最大子矩阵和问题 给定一个m行n列的整数矩阵A，试求矩阵A的一个子矩阵，使其各元素之和为最大。 0 -2 -7 0 2 -6 2 -4 1 -4 1 -1 8 0 -2 A= 算法 直接枚举：需4重循环，复杂性O(m2n2) 改进：记S(i1,i2,j1,j2)= ? aij i=i1,j=j1 i2,j2 要求 S= max{1 ?i1 ?i2 ? m} max{1 ?j1 ?j2 ? n} S(i1,i2,j1,j2) = max{1 ?i1 ?i2 ? m} t(i1,i2) 其中 t(i1,i2)= max{1 ?j1 ?j2 ? n} S(i1,i2,j1,j2) = max{1 ?j1 ?j2 ? n} ? bj j=j1 j2 bj是j列上从i1行到i2行的元素之和，显然t(i1,i2)是求b[1..n]的最大子段和 a11 a12 a13 … a1k … a1n a21 a22 a23 … a2k … a2n ………………. ai1 ai2 ai3 … aik … ain ai+1 ai+12 ai+13 … ai+1k … ai+1n ai+21 ai+22 ai+23 … ai+2k … ai+2n ……………………… am1 am2 am3 … amk … amn 算法图示 A= 复杂性O(m2n) int MaxSum(int m, int n, int **a){ int sum = 0, *b = new int [n + 1]; for (int i = 1;i = m;i ++) { for (int k = 1;k = n;k ++) b[k] = a[i][k]; for (int j = i+ l;j = m;j ++){ for (int k = l;k = n;k ++) b[k] + = a[i1[k]; int max = MaxSum(n,b); if (max sum) sum = max; } } return sum; } 复杂性O(n) 总复杂性O(m2n) 最大m子段和问题-自学 给定由n个整数（可能为负整数）组成的序列a1，a2，…，an，以及一个正整数m，要求确定序列a1，a2，…，an的m个不相交子段，使这m个子段的总和达到最大。 设b(i，j）表示数组a的前j项中i个子段和的最大值，且第i个子段含a[j]（