D5_4反常积分;D6_1元素法例析.ppt

一.什么问题可以用定积分解决? */16 *高等数学（上） * */29 微积分三① 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 2.计算 二、瑕积分 一、无穷限积分 第四节 反常积分 缺少这两个条件中的一条,就称为反常积分. 即: 引入定积分概念时,有两个基本要求: 1.积分区间[a,b]是有限的; 2.被积函数f(x)在[a,b]上是有界的. 这种通常意义下的积分称为常义积分. 若[a,b]变为无限区间,则称 为无穷限积分; 若 f(x) 为无界函数,则称 为瑕积分. 1.引例 O x y y = 1 1+x2 A b B 例1 求由曲线y = (x≥0)与坐标轴所“围成”的开口曲边梯形的面积. 1 1+x2 形如 的积分称为无穷限积分. 2.无穷限积分定义 积分的值,记为 设 f(x)在 连续， 如果 存在 则称广义积分 收敛,并称此极限为广义 如果上式极限不存在,则称广义积分发散. (2) 称广义积分 收敛,并称此极限为广义积 设 f(x)在 连续,如果 存在,则 分的值,记为 例2 判别下列积分的敛散性,收敛时求其值. (2)约定记号:若 ,则 注意 (1)计算步骤:先求定积分,再取极限. ★例3 讨论 的敛散性. 广义积分 在 时收敛;在 时发散. 例4 下列积分收敛的是( ) (3)形如 的积分 对于积分 我们采取将其一分为二的方法,考虑如下的两个积分 与 是否收敛. 结论如下: 如果这两个积分都收敛,则原积分也收敛,且 ,否则原积分发散. 注意 c为常数,通常取0或1. 其中任何一个无穷积分发散,则原积分发散 例5 计算广义积分 例6 积分 是否收敛? 注意 奇偶函数对称区间上积分性质只有当广义积分收敛时适用! 注意 在广义积分收敛的前提下,定积分的性质、计算方法都可以推广到广义积分中. 如果f(x)在区间[a,b]上某点为无穷间断点,则称该点为f(x)的瑕点,并称积分 为瑕积分. 瑕积分比无穷限积分难,难在瑕点不容易发现. 例7 下列积分属于瑕积分的是_____. 一个积分是不是瑕积分,就是看在积分区间上有没有无穷间断点. 注意 被积函数不满足可积条件,则不能使用牛顿---莱布尼兹公式. 1. 设f(x)在(a,b]连续, x=a 为瑕点(即 ). 若 存在,则称瑕积分 收敛, 注意 瑕点就是无穷间断点. 2. 设f(x)在[a,b)连续, x=b 为瑕点(即 ). 若 存在,则称瑕积分 收敛, 记为 记为 3. 设f(x)在(a, b)内一点c处无穷间断,对于瑕积分 ,我们采取将其一分为二的方法,考虑如下 的两个积分 与 是否收敛. 结论如下:如果这两个积分都收敛,则原积分也收敛,且 ,否则原积分发散. 例8 求 当0p1时,原积分收敛;当 时,原积分发散. ★例9 讨论瑕积分 的敛散性. 例10 求 例11 求 第一节 定积分的元素法 一、什么问题可以用定积分解决? 二、如何应用定积分解决问题? 表示为 1)所求量U是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关的 2)U对区间[a , b]具有可加性, 即可通过 “大化小,常代变,近似和,取极限” 定积分定义 一个整体量;