D5_5反常积分审敛法例析.ppt

二、无界函数反常积分的审敛法 第五节 反常积分 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 一、无穷限反常积分的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分的审敛法 ?函数 第五章 一、无穷限反常积分的审敛法 定理1. 若函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 根据极限收敛准则知 存在 , 定理2 . (比较审敛原理) 且对充 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 不失一般性 , 因此 单调递增有上界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 已知 得下列比较审敛法. 极限存在 , 定理3. (比较审敛法 1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 判别反常积分 解: 的敛散性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论反常积分 的敛散性 . 提示: 当 x≥1 时, 利用 可知原积分发散 . 定理4. (极限审敛法1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有: 1) 当 2) 当 证: 根据极限定义 , 对取定的 当 x 充 分大时, 必有 , 即 满足 当 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可取 必有 即 注意: 此极限的大小刻画了 例2. 判别反常积分 的敛散性 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 . 例3. 判别反常积分 的敛散性 . 解: 根据极限审敛法 1 , 该积分发散 . 定理5. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证： 则 而 定义. 设反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称 绝对收敛 ; 则称 条件收敛 . 例4. 判断反常积分 的敛散性 . 解: 根据比 较审敛原理知 故由定理5知所 给积分收敛 (绝对收敛) . 无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 二、无界函数反常积分的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定义 例如 因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数 的反常积分中来 . 定理6. (比较审敛法 2) 定理3 目录 上页 下页 返回 结束 瑕点 , 有 有 利用 有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法. 使对一切充分接近 a 的 x ( x a) . 定理7. (极限审敛法2) 定理4 目录 上页 下页 返回 结束 则有: 1) 当 2) 当 例5. 判别反常积分 解: 利用洛必达法则得 根据极限审敛法2 , 所给积分发散 . 例6. 判定椭圆积分 定理4 目录 上页 下页 返回 结束 散性 . 解: 由于 的敛 根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 . 类似定理5, 有下列结论: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 判别反常积分 的敛散性 . 解: 称为绝对收敛 . 故对充分小 从而 据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 . 则反常积分 三、? 函数 1. 定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面证明这个特殊函数在 内收敛 . 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 综上所述 , 2. 性质 (1) 递推公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: (分部积分) 注意到: (2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: (3) 余元公式: (证明略) (4) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 得应用中常见的积分 这表明左端的积分可用 ? 函数来计算. 例如, 内容小结 1. 两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法 . 2. 若在同一积分式中出现两类反常积分, 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 可通过分项 使每一项只含一种类型的反常积分, 只有各项都收敛时, 才可保证给定的积分收敛 . 3. ? 函数的定义及性质 . 思考与练习 P263 题1 (1), (2), (6), (7) P264 题5 (1), (2) 作业 P263 1 (3), (4), (5), (8) 2 ; 3 * 运行时, 点击按钮“定理3”, 可显示定理3 的内容. * 运行时, 点击按钮“定理4”, 可显示定理4 的内容. * 运行时, 点击按钮“定理4”, 可显示定