（精）电磁场第1-1章.ppt

1.0 矢量及其代数运算1.1 三种常用的坐标系1.2 矢量函数的微积分1.3 标量函数的梯度1.4 矢量函数的散度1.5 矢量函数的旋度1.6 场函数的微分算子和恒等式 （1）矢量的表示 矢量的一般表示： A=aA （2）矢量的位置 从原点指向任意空间点P的矢量r ，称为位置矢量。 位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。 结论：两个非零矢量的叉积等于零矢量，则这两个矢量必然相互平行。 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： ax×ay=az, ay×az=ax, az×ax=ay ax×ax=ay×ay=az×az=0 注意：矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即 A×B=－B×A A×(B+C)=A×B+A×C 结 论 矢量的加法和加法运算满足平行四边形法则； 两个矢量的点积等于标量，两个叉积等于矢量； 两个不为零的矢量的点积等于零，则这两个矢量必然相互垂直； 两个非零矢量的叉积等于零矢量，则这两个矢量必然相互平行。 　　1. 直角坐标系（重点）　　　　直角坐标系中的三个坐标变量是x、y、z，如图1-1-1所示。它们的变化范围是　　 由点M(x，y，z)沿ex、ey、ez方向分别取微分长度元dx、dy、dz。由x，x+dx；y，y+dy；z，z+dz这六个面决定一个直角六面体，它的各个面的面积元是 (与ex垂直)  (与ey垂直)  (与ez垂直) 　　2. 圆柱坐标系　　圆柱坐标系(简称柱坐标系)中的三个坐标变量是ρ、φ、 z，如图1-1-2所示。 过空间任意点M(ρ，φ，z)的坐标单位矢量为eρ、eφ、ez，它们相互正交，并遵循eρ×eφ=ez的右手螺旋法则。（除ez外，eρ、eφ的方向都随M点位置的变化而变化） 在M点的任一矢量A可表示为 在点M(ρ，φ，z)处沿eρ、eφ、ez方向的长度元分别是 与三个坐标单位矢量相垂直的面积元分别是　　　　　　　　　　　　　 (与eρ垂直)  　　　　　　　　　　　　　(与eφ垂直)  　　　　　　　　　　　　　(与ez垂直) 　　　 　　3. 球坐标系　　 球坐标系中的三个坐标变量是r、θ、φ，如图1-1-3所示，它们的变化范围是 过空间任意点M(r，θ，φ)的坐标单位矢量为er、eθ、eφ，它们相互正交，并遵循er×eθ=eφ的右手螺旋法则。（er、eθ和eφ的方向都因M点位置的变化而变化） 在点M的任一矢量A可表示为 在点M(r，θ，φ)处沿er、eθ、eφ方向的长度元分别是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 体积元是 dτ=dlr dlθ dlφ=r2 sinθ dr dθ dφ 　　　　 1.1.2 三种坐标系坐标变量之间的关系　　由图1-1-4所示的几何关系，可直接写出三种坐标系的坐标变量之间的关系。　　1. 直角坐标系与柱坐标系的关系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-1-11) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-1-12) 　　2. 直角坐标系与球坐标系的关系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-1-13)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1-1-14) 　　3. 柱坐标系与球坐标系的关系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-1-15) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-1-16) 1.1.3 三种坐标系坐标单位矢量之间的关系　　直角坐标系和柱坐标系都有一个z变量，有一个共同的坐标单位矢量ez，其他坐标矢量都落在xOy平面内。因此，这两种坐标系的坐标矢量及其关系可以用图1-1-5表示出来，这种变换关系写成矩阵形式为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-1-17) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-1-18) 　　柱坐标系和球坐标系都有一个φ变量，有一个共同的坐标单位矢量eφ，而其他坐标矢量都落在过z轴的平面内。因此，这两种坐标系的坐标矢量及其关系可以用图1-1-6表示出来，将这种变换关系写成矩阵形式为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-1-19)