9-2-2010(5-10)(第二型曲线积分)例析.ppt

第二节 第二型曲线积分 一、引例：变力做功问题 二、第二型曲线积分的概念与性质 三、第二型曲线积分的计算法 * */28 常力沿直线所作的功 分割 一、引例 变力做功问题 求和 取极限 取近似 取 即 近似值 精确值 1. 定义 设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑 用L上的点: 把L分成n个有向小弧段 曲线弧, 在L上有界. 上任意取定的点. 二、第二型曲线积分的概念和性质 如果当各小段长度的最大值 的极限总存在, 记作 则称此极限为函数 在有向曲线弧 L上 或称 第二型曲线积分. 对坐标x的曲线积分, 即 类似地定义 称 在有向曲线弧 L上 对坐标y的曲线积分. 2. 存在条件 在光滑曲线弧L上 3.组合形式 “点积”形式 第二类曲线积分存在. 连续, 其中 4. 物理意义 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 5. 推广 空间有向曲线弧Γ, 6. 性质 L L1 L2 对坐标的曲线积分与 (1) 则 (2) 有向曲线弧, 则 曲线的方向有关. 对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 三、第二型曲线积分的计算 思想是 因此下限应是起点的坐标, 化为定积分计算. 上限是终点的 坐标. 定理 连续, 且 特殊情形 (1) (2) 则 则 (3) 推广 例1 解 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同. 其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段. 直线AB的方程为 解 化成参数式方程为 于是 例2 A点对应 B点对应 例3 (1) L是上半圆周 反时针方向; 解 A点对应 (2) L是x轴上由点 到点 的线段. (1)中L的参数方程为 B点对应 其中 原式= (2) L的方程为 原式= (2) L是x轴上由点 到点 的线段. 其中 例4 解 * */28