9-6-2010-5-20(高斯公式和斯托克斯公式+应用+xin)-副本-副本例析.ppt

第六、七节 高斯公式和斯托克斯公式 一、（第六节）高斯公式** （格林公式：闭曲线积分+二重积分？） （高斯公式：闭曲面积分+三重积分） 二、 （第七节）物理意义---通量与散度 三、 （第六节）斯托克斯公式 四、 （第七节）物理意义---环流量与旋度 按斯托克斯公式, 法二 有 1.环流量的定义 环流量. 四、物理意义---环流量与旋度（记公式） 设向量场 利用Stokes公式, 环流量 2. 旋度的定义 斯托克斯公式的向量形式 其中 Stokes公式的物理解释 环流量 * */47 一、高 斯 公 式 具有 则有公式 一阶连续偏导数, 或 外侧, 证明思路 分别证明以下三式, 从而完成定理证明. 只证其中第三式,（从两边开始证，都等于某一个式子） 其它两式可完全类似地证明. 证 设空间区域Ω 母线平行于z轴的柱面. 即边界面 三部分组成: (取下侧) (取上侧) (取外侧) 左边：由三重积分的计算法 投影法(先一后二法) 右边：由曲面积分的计算法 取下侧, 取上侧, 取外侧 于是 若区域Ω的边界曲面 与任一平行于坐标轴 的直线的交点多于两点时, 可以引进几张辅助的 曲面把Ω分为有限个闭区域, 使得每个闭区域满 足假设条件, 并注意到沿辅助曲面相反两侧的两 个曲面积分的绝对值相等而符号相反, 相加时正 好抵消. 因此, 高斯公式对这样的闭区域仍是正 确的. 由两类曲面积分之间的关系知 高斯公式为计算(闭)曲面积分提供了 它能简化曲面积分的计算. 一个新途径, 表达了空间闭区域上的三重积分与其 边界曲面上的曲面积分之间的关系. 高斯Gauss公式的实质 解 例1 外侧. 使用Guass公式时易出的差错: (1) 搞不清 是对什么变量求偏导; (2) 不满足高斯公式的条件, 用公式计算; (3) 忽略了 的取向, 注意是 取闭曲面的 外侧. 高斯公式 例2 解 外侧. 能否直接用 点(x,y,z)在曲面上, 然后再用高斯公式. 可先用曲面方程将被积 因被积函数中的 函数化简， 高斯公式 有时可作 辅助面, (将辅助面上的积分减去). 化为闭曲面的曲面积分, 然后利用 高斯公式. 对有的 非闭曲面 的曲面积分, 例3 计算曲面积分 之间 下侧. 的法向量的方向余弦. 部分的 解 空间曲面Σ在xOy面上的 曲面? 不是 为利用高斯公式. 投影域为 补 构成封闭曲面, 使用高斯公式. 封闭曲面, 由对称性 先二后一法 故所求积分为 被积函数中有抽象函数, 故无法直接计算. 分析 用高斯公式. 例4难！ Σ是锥面 所围立体的表面 计算设f(u)是有连续的导数,计算 和球面 及 外侧. 解 由于 故由高斯公式 = 1. 通量 为向量场 设有一向量场 则称沿场中有向曲面Σ某一侧的曲面积分: 通量. 穿过曲面Σ这一侧的 二、物理意义 通量与散度 通量的计算公式 2.散度 设有向量场 为场中任一点, 在P点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面 它所围成的小区域及其体积记为 表示 内穿出的通量, 若当 缩成P点时, 极限 记为 散度. 存在, 则该极限值就称为向量场 在P点处的 即 散度的计算公式 设 均可导, 点处的散度为 高斯公式 高斯公式可写成 例5 向量场 解 设数量场 解 先求梯度 再求 的散度. 三、斯托克斯(Stokes)公式 斯托克斯公式 定理 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 边界的分片光滑的有向闭曲面, 具有一阶连续偏导数, 则有公式 即有 其中 方向余弦. 是Σ指定一侧的法向量 Γ的正向与Σ的侧符合右手规则: 当右手除拇指外的四指依Γ 的绕行方向时, 是有向曲面 的 正向边界曲线 右手法则 拇指所指的方向与Σ上法向量的指向相同. 是有向曲面Σ的正向边界曲线. 称Γ 另一种形式 便于记忆形式 Stokes公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其 边界曲线上的曲线积分之间的关系. 解 法一 按斯托克斯公式, 计算曲线积分 例5 其中 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. 有 对称性 * */47