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马路小学二次函数性质专用
二次函数知识点
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2. 二次函数的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.
⑵ 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式:的性质:
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值. 向下 轴 时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值. 2. 的性质:
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值. 向下 轴 时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值. 3. 的性质:
左加右减。
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值. 向下 X=h 时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值. 4. 的性质:
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值. 向下 X=h 时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值. 三、二次函数对称性的应用
1.二次函数图象上两点,如果纵坐标相等,那么这两点一定关于对称轴对称(两点到对称轴等距离),反之也成立。
2. 是抛物线上两点,则对称轴是。
3.开口向上时,两个点离对称轴越远,纵坐标越大;开口向下时,两个点离对称轴越近纵坐标越大。
四、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:
2. 平移规律------概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,
变成(或)
⑵沿x轴平移:向左(右)平移个单位,
变成(或)
五、二次函数与的比较
从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.
六、二次函数图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
七、二次函数的性质
1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.
当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值.
2. 当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值.
八、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:(,,为常数,);
2. 顶点式:(,,为常数,);
3. 两根式:(,,是抛物线与轴两交点的横坐标)。
是抛物线上两点,则对称轴是,顶点横坐标是。
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
九、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数中,作为二次项系数,显然.
⑴ 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
⑵ 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.
2. 一次项系数
在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
总结:
3. 常数项
⑴ 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
⑵ 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
⑶ 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
4. 已知抛物线
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