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作业有效反思的若干视角 摘要：对于学生作业中的常犯错误，为什么教师讲评过多次，还是有学生做错或不会做？结合实例说明，作业讲评后，教师有必要引导学生从错误的根源性、问题的知识点、解法的多样性、问题的相关性等角度进行反思，这样能更有效地提示问题本质、构建知识网络、优化思想方法、提升思维品质。 关键词：作业；反思；视角；思维能力 反思，即反省思维。对数学作业进行反思，是对数学思维活动进行回顾、思考、总结、评价、调节的过程，是数学活动的核心和动力。要让作业效果最优化，师生都有必要对作业进行有效反思。通过反思，能促进学生知识的内化，能力的提升，学习方式的改善；也有利于教师精准地掌握学生的思维特点，寻找规律，加快自身成长，让前车之鉴真正成为后事之师。那么，怎样才能更加有效地进行作业反思呢？ 一、反思错误的根源性，揭示问题本质 学生作业错误既有知识缺陷造成的，也有能力缺陷造成的；有逻辑、策略上的因素造成的，更有非智力因素造成的。纠正学生的作业错误不能单靠正面示范和反复练习，必须是一个“自我否定”的过程。因此，教师要善于利用学生的错解作为反面教材，引导学生有效反思：指出错误的根源，探究改错方法，提出防范措施，真正揭示问题的本质。 案例1 已知 ，求的最大值。 错解1：由已知，得， 则。 当时，取得最大值。 错解2：令， 则将代入已知，得。 由，得， 故， 即取最大值。 反思：上述两种解法得到了相同的结果，它们都正确吗？此问题将引起学生的思维碰撞，教师可引导学生深入辨析。因势利导设问：题中的取值有限制吗？错解1中，错解2中是否符合题意？如何求出的隐含范围？此题的求解对今后求最值问题有何启发？学生在教师引导下分析诊断，提炼出利用函数求最值的注意点，并得出正确解法。 解：由于， 则。 在上是单调递增的。 当时，取最大值9. 这种反思方式能有效加深学生对此类问题的理解，避免重蹈覆辙，提高解题的正确率。 二、反思问题的知识点，构建知识网络 数学是一个有机的整体，各知识间相互联系，引导学生反思作业题目所涉及的知识点，寻求知识网络的交汇点，强调知识间的交叉、渗透与综合，能加深学生对知识间内在联系的理解，逐步从纵向和横向两个方面对数学知识进行整体性构建，从而在头脑中形成经纬交织的知识网络，构建学生自己独特的数学认识结构。 案例2 若等比数列的各项均是不等于1的正数，数列满足，其中是不等于1的正数，且，。 数列的前几项和最大，并求其最大值? 试判断是否存在正整数，使时，恒成立？若存在，求；若不存在，请说明理由。 若，是大于13的整数，比较与的大小。 解：（1）由。 则。 因为是等比数列，故为等差数列。 设公差为，则，即，。 所以。 当时，前项和最大，最大值为132. （2）由。 又，故当时，，即； 当时，，即，所以存在，使时，恒成立。 （3）， 当时，随增大而减少， 即。 反思：该作业取材于知识交会处，难度中等，稍作讲评学生就能理解。但教师不能就题讲题，要注意引导学生回顾其涉及的基础知识有哪些？（涵盖了代数中等差数列的概念、通项公式、前项和公式，二次函数的最值，指数函数、对数函数的运算性质，不等式等。）蕴含了哪些数学思想方法？（函数思想、分类讨论思想。化归转化思想等。）怎样使用这些思想方法？若学生能在反思中整理和理解相关数学知识与思想方法，对整合知识点并将其升华为能力大有帮助。 反思解法的多样性，优化思想方法 对一道数学题，由于审视的方法不同，往往有多种不同的求解方法。教师要善于在解题后再次启发学生从不同的角度去观察、反思、探索：有无不同的。甚至是简捷、新颖的解法，使学生的思维触角伸向不同的方向与层次，开拓学生的思路，防止思维定势，及时交流、共享、总结出各类解题技巧，养成“从优、从快”的解题习惯。 案例3 椭圆，椭圆上的点P满足，则这样的点有 个。 解：利用椭圆定义求解，设。 若，则。 而，故不存在这样的点。 反思：（1）考虑垂直关系，与圆相联系。以为直径构圆，则其半径，即圆与椭圆无交点。故不存在这样的点。 （2）考虑垂直关系，与坐标运算相联系。 设，由已知得，即。求得，故不存在这样的点。 （3）考虑极端情况。由题意知点在短轴端点处最大。设，，则，故不存在这样的点。 （4）考虑与曲线方程联系。点的轨迹方程为，与椭圆联立得，故不存在这样的点。 反思解法的多样性，关键是要引导学生正确审题，使学生明白已知