（精）非线性控制系统.ppt

* 李亚普诺夫稳定性分析 稳定性定义 系统受到外界干扰偏离原有的平衡状态时，当外界干扰去掉后，系统能在新平衡状态下继续工作的能力。 系统稳定性判据 SISO线性定常系统 劳斯判据 奈奎斯特判据 非线性系统、时变系统 ? 李亚普诺夫稳定性判据 * 李亚普诺夫稳定性分析 李亚普诺夫方法 第一方法（间接法） 第二方法（直接法） 通过解系统的微分方程判断稳定性。 对非线性系统，则用平衡点附近一定范围内的线性化方程来近似描述。 不必求解微分方程即可判断 特别适用于以状态空间描述的系统 * 李亚普诺夫稳定性分析 基本概念 设系统 n维状态向量 n维函数向量（包含线性和非线性，时变和非时变） 在初始条件 时有唯一解 ，即 平衡状态 若系统存在 ，使得对所有的t都满足 则称 为系统的平衡状态 线性 非线性 * 李亚普诺夫稳定性分析 稳定性 若对于任一给定实数 ，都存在另一个与 取值有关的 实数 使得下列不等式成立时，即 就一定有 则称系统的平衡状态 在李亚普诺夫意义下是稳定的。 无关 若 与 一致稳定的 * 李亚普诺夫稳定性分析 渐进稳定性 如果系统的平衡状态 在李亚普诺夫意义下是稳定的， 而且从与平衡状态 的距离小于等于 的邻域 出发的 任意一个状态转移轨线 当 趋于无穷大时，都趋近于 则平衡状态 是渐近稳定的。 大范围渐近稳定性 如果从平衡状态周围所有状态出发的状态转移轨线都满足渐近稳定性，则称该平衡状态是大范围渐近稳定的。 * 李亚普诺夫稳定性分析 不稳定性 如果对于某个给定的实数 不管实数 取多么小， 在 的邻域 内总存在着起码一个初始状态 ，使得从这 一状态出发的状态转移轨线 与 的距离超过给定的 ，则 平衡状态 就称为不稳定的。 标量函数的正定性 设 为以状态向量 的各分量作为其自变量的标量函数， 它的定义域为 。如果只有当 时， 而 时， 则称 为正定函数。 如果除了 和某些状态使得 以外， 域内的所有 其他状态都使 则称 为半正定的。 * 李亚普诺夫稳定性分析 如果 是正定的函数，则 称为负定函数。 如果 是半正定的函数，则 称为半负定函数。 李亚普诺夫第二方法 从能量观点出发，得出的一个判别系统稳定性的理论。 当时间 趋于无穷时，系统积蓄的能量必达到一个极小值。 设法用一个辅助函数来衡量系统的储能，判别系统平衡点附近的稳定性问题转化为判别储能辅助函数及其变化规律。 * 李亚普诺夫稳定性分析 大范围渐近稳定 不稳定 大范围稳定 局部渐近稳定 局部不稳定 基于能量观点，得出李亚普诺夫稳定性定理 * 李亚普诺夫稳定性分析 定理一 如果系统在平衡状态 的某些邻域内存在一个正定的具有 连续一阶偏导数的标量函数 其导函数 是负定的，则 平衡状态 是一致渐近稳定的。 如果当 时，有 则该平衡状态是大范围内一致渐近稳定的。 定理二 如果系统在平衡状态 的某些邻域内存在一个正定的具有连 续一阶偏导数的标量函数 其导函数 是负半定的，而 且 对任意 和 在 时不恒等于零，则 平衡状态 是大范围渐近稳定的。 其中 表示从 出 发的状态轨迹。 * 定理三 如果系统在平衡状态 的某邻域内存在一个正定的具有连 续一阶偏导数的标量函数 其导函数 在同样的邻域 李亚普诺夫稳定性分析 内是正定的，则平衡状态 是不稳定的。 定理四 如果系统在平衡状态 的某邻域内存在一个正定的具有连 续一阶偏导数的标量函数 其导函数 在同样的邻域 内小于等于零或始终为零，则平衡状态 是稳定的。 * 李亚普诺夫稳定性分析 例：已知某线性系统的状态方程如下 试用李亚普诺夫稳定性定理判定其稳定性。 解： 使 的平衡状态为 若选取 为李亚普诺夫函数，显然它是正定的。 但 是不定的，因而不能用其来确定系统在原点处的稳定性。 * 李亚普诺夫稳定性分析 若另取一个正定标量函数 则 是负半定的，因为在原点的邻域内存在某些状态 使 实际上，只有在原点处 而在原点的邻域内 不恒等于零。故根据定理二可知，原点处的平衡状态是大范围内渐近稳定的。 对于一个特定的系统，其李亚普诺夫函数并不是唯一的。 * 李亚普诺夫稳定性分析 还可选取 其导函数为 为负定的，且当 有 根据定理一可知，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 * 李亚普诺夫稳定性分析 非线性系统 其原点是平衡状态，即 为连续可微函数，则前苏联 学者找出一种构造李亚普诺夫函数方法 它对时间 的全导数为 其中 * 李亚普诺夫稳定性分析 故当 为负定时，对于非零向量 也一定是负定的。 而当 时，是否有 呢？ 因为对于非零向量 ，有 是负定的保证了 也是负定的，即 时 其行列式也是非零的，因而有 * 李亚普诺夫稳定性分析 定理 非线性系统 在原点的平衡状态是渐近稳定的充要 条件是