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高二数学（文科）练习三 一．填空题: 1.已知函数在上单调递减，在上单调递增，且函数的导数记为，则__________。 2．函数的图象如图所示，则导函数的图象大致是D 3、已知函数，则 的值是 4．曲线y =上的点到直线2x – y + 3 =0的最短距离是 . 5.点P在曲线y = x3- x +上移动时，过点P的切线的倾斜角的取值范围是___________. 7. i为虚数单位，（0 ） 8. 设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是__1____ 9.i为虚数单位，则=__________－i ____________. 10. 设集合， 则为_____ 11．若且，则的最小值是________ 解：如图所示，表示点的轨迹是单位圆，而表示的是复平面上表示复数的点M与表示复数的点A之间距离。当M位于线段AO与单位圆交点时，最小，为。 12.设函数,观察: 根据以上事实，由归纳推理可得： 当且时， 13.观察下列各式：则，…，则的末两位数字为_____01___________ 14.设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示n条直线交点的个数，则f(4)= 5 , 当n4时，f(n)= 二、解答题 15．(1)设都是正数，求证。 (2)已知：，求证： ①； ②中至少有一个不小于。 15证明：(1) (2) ①证明：∵ ∴ ②假设都小于，则 ， 即有 ∴ 由（1）可知，与矛盾， 16．若方程至少有一个实数根，求实数的值。 解：设方程的实根为，则，整理得：，即：，解得：或。 所以的值为或。 已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。 解： ………………（4分） 设，则，………………（12分） ∵ ，∴ ………………（12分） 17．已知在函数的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为 （1）求m．n的值； （2）是否存在最小的正整数k，使不等式对于恒成立？求出最小的正整数k，若不存在说明理由； （1）， （2）令， 在[－1，3]中，在此区间为增函数时， 在此区间为减函数. 处取得极大值. [，3]时在此区间为增函数，在x=3处取得极大值.比较（－）和的大小得： 即存在k=2007 18.已知函数=，在x＝1处取得极值2． (1)求函数的解析式； (2)m满足什么条件时，区间为函数的单调增区间？ (3)设直线l为曲线=的切线，求直线l的斜率的取值范围。 解： (1)已知函数=，.又函数在x=1处取得极值2即当a=4,b=1, ，当，.. (2)由. x (－1，1) 1 － 0 + 0 － 极小值－2 极大值2 所以的单调增区间为.若为函数的单调增区间，则有 解得 即时，为函数的单调增区间. (3)，.设切点为P(x0, y0),则直线l的斜率为 .令，则直线l的斜率， . 19.已知函数 （Ⅰ）若函数在区间上的平均变化率小于1，求证：； （Ⅱ）若，则函数的图像上的任意一点的切线的斜率为k，若， 求a的取值范围。 解：（Ⅰ）函数在区间上的平均变化率小于1 所以对恒成立 即对恒成立。 （Ⅱ），对恒成立 当时，对任何实数成立 当时，即 ，在单调减，在单调增， ，在单调增， 所以 20.在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？ 解：设∠BCD＝Q，则BC＝，CD＝40cotθ，（0＜θ＜＝， ∴AC＝50－40cotθ 设总的水管费用为f（θ），依题意，有 f（θ）＝3a（50－40·cotθ）+5a· ＝150a+40a· ∴f′（θ）＝40a· 令f′（θ）＝0，得cosθ＝ 根据问题的实际意义，当cosθ＝时，函数取得最小值， 此时sinθ＝，∴cotθ＝， ∴AC＝50－40cotθ＝20（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省. 1 x y O x y O A x y O B x y O C x y O D