偏导数的应用偏导数的应用.doc

第五节 偏导数的应用 Application of Partial Derivative 教学目的: 会利用偏导数求空间曲线在某点的切线方程和法平面方程,会利用偏导数求曲面在某点的切平面方程和法线方程;理解二元函数极值的概念,熟练掌握二元函数极值与最大值、最小值的求法,会利用拉格朗日乘数法求条件极值. 课 题: 偏导数的几何应用;多元函数极值;条件极值. 教学重点: 二元函数的极值与多元函数的条件极值 教学难点: 二元函数的极值 教学方法: 精讲:多元函数极值及拉格朗日乘数法;多练:二元函数求极值 教学内容: 一、偏导数的几何应用 1.空间曲线的切线和法平面 设空间曲线的参数方程为 假定均可导,不同时为零,曲线上对应于及的点分别为和.割线的方程为 当沿着曲线趋于时,割线的极限位置是在处的切线.上式分母同除以得 当(即)时,对上式取极限,即得曲线在点的切线方程 向量是切线的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦. 通过点与切线垂直的平面称为曲线在点的法平面.它是通过点,以切线向量为法向量的平面.因此,法平面方程为 【例1】求螺旋线在点的切线及法平面方程. 解 点对应的参数.因为,所以切线向量,因此,曲线在点处的切线方程为 在点处的法平面方程为 即 【例2】 求曲线上点处的切线和法平面方程. 解 把看作参数,此时曲线方程为 在点处的切线方程为 法平面方程为 即 2.曲面的切平面与法线 设曲面的方程为是曲面上的一点,假定函数的偏导数在该点连续且不同时为零,设是曲面上过点的任意一条曲线,的方程为,与点相对应的参数为,则曲线在处的切线向量为.因在上,故有 此恒等式左端为复合函数,在时的全导数为 记,则,即与互相垂直.由于曲线是曲面上过的任意一条曲线,所以在曲面上所有过点的曲线的切线都与同一向量垂直,故这些切线位于同一个平面上.这个平面称为曲面在处的切平面.向量是切平面的法向量,称为曲面在处的法向量.切平面方程为 过点与切平面垂直的直线,称为曲面在点处的法线,其方程为 若曲面方程由给出,则可令 于是 这时曲面在处的切平面方程为 法线方程为 【例3】求椭球面在点处的切平面和法线方程. 解 设 故在点处椭球面的切平面方程为 即 法线方程为 【例4】 求旋转抛物面在点处的切平面方程和法线方程. 解 由得 切平面方程为 即 法线方程为 二、多元函数极值 二元函数的极值 【例5】 曲面在点有极小值. 【例6】 曲面在点有极大值. 与一元函数极值类似,多元函数的极值也是相对某个邻域而言的,是一个局部概念. 定义1 设函数在点的某个邻域内有定义,若对改邻域内任一点都有 (或) 则称函数在点有极大值(或极小值).而称点为函数的极大(或极小)值点.极大值点与极小值点统称极值点. 2.极值的检验法 (1) 一阶偏检验 定理1 (必要条件)设函数在点处有极大值,且在该点的偏导数存在,则必有. 证明 不妨设在点处有极大值,根据极值定义,对的某一邻域内的任一点,有 在点的邻域内,也有,这表明一元函数在处取得极大值.因此,有 同理可证 与一元函数类似,使一阶偏导数的点称为函数的驻点.由定理1及例5、例6可以看出：二元函数的极值点必然是驻点或一阶偏导数不存在的点. (2) 二阶偏检验 定理2 (充分条件)设函数在定义域内的一点处有二阶连续偏导数,且.记,则 (1) 当且时,函数在点处有极小值; 当且时,函数在点处有极大值; (2) 当时,函数在点处无极值; (3) 当时,函数在点处可能有极值,也可能无极值. 综上可得,具有连续二阶偏导数的函数,其极值求法如下: (1) 先求出偏导数; (2) 解方程组,求出定义域内全部驻点; (3) 求出驻点处的二阶偏导数值:,确定的符号,并判断是否有极值,如果有,求出其极值. 【例7】 求函数的极值. 解 先求偏导数 解方程组,求得驻点为. 在驻点处,, ,于是不是函数的极值点. 在驻点处, ,且,所以点是函数的极小值点,为函数的极小值. 3.最大值与最小值 如果函数在有界闭区域上连续,则函数在上一定取得最大值和最小值.如果函数的最大值或最小值在区域的内部取得,则最大值点或最小值点必为驻点.因此,求处驻点的函数值及边界上函数的最大值和最小值,其中最大值便是函数在闭区域上的最大值,最小值便是函数在闭区域上的最小值.具体问题中,常常通过分析可知函数的最大值或最小值存在,且在定义域内部取得,又知在定义域内只有唯一驻