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故在 条件下， 概率论 概率论 * 概率论 第三节 条件分布 离散型随机变量的条件分布 连续型随机变量的条件分布 课堂练习 小结 在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率 推广到随机变量 设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布. 这个分布就是条件分布. 例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布. 体重X 身高Y 体重X 的分布 身高Y 的分布 现在若限制 1.7Y1.8(米), 在这个条件下去求 X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布. 容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样. 例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加 . 一、离散型随机变量的条件分布 实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复. 定义1 设 ( X,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若 P{Y = yj } 0，则称 为在 Y = yj条件下随机变量X的条件分布律. P{X= xi |Y= yj }= ，i=1,2, … 类似定义在 X= xi 条件下 随机变量Y 的条件分布律. 作为条件的那个r.v,认为取值是给定的， 在此条件下求另一r.v的概率分布. 条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质. 例如： i=1,2, … 解 依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目 标 , 且在前n-1次射击中有一次击中目标. 首次击中目标时射击了m次 . n次射击 击中 2 n n-1 1 ………………. m 击中 例1 一射手进行射击，击中目标的概率 射击进行到击中目标两次为止. 以 X 表示首 次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数 . 试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布. {X=m} 表 ( n=2,3, …; m=1,2, …, n-1) 由此得X和Y的联合分布律为 不论m(mn)是多少，P{X=m,Y=n}都应等于 n次射击 击中 2 n n-1 1 ………………. m 击中 每次击中目标的概率为 p P{X=m,Y=n}=？ 为求条件分布，先求边缘分布. X的边缘分布律是： ( m=1,2, … ) Y的边缘分布律是： ( n = 2,3, … ) 于是可求得： 当n=2,3, …时， m=1,2, …,n-1 联合分布 边缘分布 n=m+1,m+2, … 当m=1,2, …时， 二、连续型随机变量的条件分布 设(X,Y)是二维连续型r.v，由于对任意x, y, P{X=x}=0, P{Y=y}=0 ，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义. 设 X 和 Y 的联合概率密度为 关于 的边缘概率密度为 , 则称 为在 的条件下 的条件概率密度. 记为 称 为在 的条件下, 的条件分布函数. 记为 定义2 若对于固定 的 , 即 类似地,可以定义 我们来解释一下定义的含义： 以 为例 求 P{X1|Y=y}. 例2 设(X,Y)的概率密度是 解 为此, 需求出 由于 于是对 y0, 故对y 0, P{X1|Y=y} 例3 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为 求 解 X的边缘密度为 当|x|1时,有 即 当 |x|1 时,有 X作为已知变量 这里是y的取值范围 X已知的条件下 Y 的条件密度 例4 设数 X 在区间 (0,1) 均匀分布，当观察到 X=x (0x1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取值 .求 Y 的概率密度. 解 依题意，X具有概率密度 对于任意给定的值 x (0x1)，在X=x 的条件下，Y的条件概率密度为 X 和Y 的联合密度为