概率论第4讲案例.ppt

第二章 随机变量 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量函数的分布 小结 本讲首先给出事件独立的概念、性质定理及利用独立性概念计算事件概率的实例；然后介绍了随机变量的基本概念与分类。 随机变量概念的产生是概率论发展史上重大的事件。引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩充到对随机变量及其取值规律的研究。 随机变量的分类 (通常分两大类)： 如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等。 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 所有取值可 以逐个列举 如：“电视机的使用寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等。 全部可能取值不仅有无 穷多，而且不能能一一 列举，充满某些区间。 这两种类型的随机变量因都是随机变量，自然会有许多相同或相似之处；但因其取值方式不同，故又有其各自的特点。 随机变量 连续型随机变量 离散型随机变量 学习时要注意它们各自的特点及描述方法。 概率论与数理统计 第四 讲 广东金融学院 显然，有 P(A|B)=P(A). 这就是说：事件B发生，并不影响事件A发生的概率。这时，称事件A与B相互独立，简称独立。 1.5.1 两事件的独立 A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}， 先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设 §1.5 事件的独立性 由乘法公式知，当事件A与B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B). 用 P(AB)=P(A) P(B) 刻画独立性，比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好。 ◎ 不受 P(B)0 或 P(A)0 的制约； ◎ 反映了事件A与 B的对等性。 定义1：若两事件A, B满足 P(AB)= P(A) P(B), 则称 A与B 相互独立，或称 A, B 独立。 两事件独立的定义 例1： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A={ 抽到K }, B={抽到黑色的牌}。 故, P(AB) = P(A)P(B). 解：由于 P(A) = 4/52 = 1/13, 这说明事件A, B独立。 问事件A, B是否独立？ P(AB) = 2/52 = 1/26。 P(B) = 26/52 = 1/2， 前面是根据两事件独立的定义得出A, B独立的结论，我们也可以通过计算条件概率的办法得到 A, B独立的结论。 续前例：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A={ 抽到K }, B={抽到黑色的牌}。 在实际应用中, 往往根据问题的实际意义判断两事件是否独立 。 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13， 故，P(A)= P(A|B)。 这也说明A, B独立。 如：一批产品共 n 件，从中抽取2件，设 Ai = {第 i 件是合格品}， i=1,2。 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立。 其原因是：第二次抽取的结果受第一次抽取结果的影响。 其原因是: 第二次抽取的结果不受第一次抽取结果的影响。 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立。 请问：如图的两个事件是否独立？ 即: 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0, 则 A与B不独立。 其逆否命题是：若A与B独立，且 P(A)0, P(B)0, 则 A与B一定不互斥。 而 P(A) ≠ 0, P(B) ≠0。 故 A与B不独立。 我们来计算： 因 P(AB)=0, P(AB) ≠ P(A)P(B)。 即 请问：能否在样本空间Ω中找到两个事件， 它们既相互独立又互斥? 所以，Φ与Ω独立且互斥。 不难发现: Φ(或Ω)与任何事件都独立。 答：能。 设A, B为互斥事件，且P(A)0, P(B)0, 下面四个结论中，正确的是： 前面我们看到独立与互斥的区别和联系，请看下列两个练习。 1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)， 3. P(A|B)=0， 4. P(AB)=P(A)P(B)。 设A, B为独立事件，且P(A)0, P(B)0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)， 3. P(A|B)=0 ， 4. P(AB)=P(A)P(B)