概率论中心极限定理案例.ppt

所求概率为 直接计算很麻烦，利用棣莫佛-拉普拉斯定理 解 令X表示同时要外线的 电话机数, 则 X~B?1000, 0.05?, 且 np?50, np(1－p)?47.5. 根据棣莫佛-拉普拉斯定理, X近似服N?50,47.5?. 假定安装 k 条外线, 可使 某单位有1000部内线电话, 每部电话打 外线的概率为0.05, 问需要装多少外线, 才能保 证每部电话打外线时, 即时接通的概率不小于 0.95? 例3-3 查表得 ??1.645? ? 0.95. 由单调性, 应有 解得 k ? 61.3. 因此, 安装62条外线即可. 则有 假设对于一个学生而言, 来参加家长会的 家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、 1名家长和2名家长来参加的概率分别为 0.05、 0.8和0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加 会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数 X 超过 450 的概率; (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于 340的概率. 解 (1) 以 Xk ?k=1, 2,…, 400? 记 第k个学生来参加会议的家长数. 例3-4 则Xk的分布律为 由林德贝格-列维中心极限定理知 近似服从正态分布N?0, 1?. 于是 (2) 以Y记有1名家长来参加会议的学生数, 则Y ? B?400, 0.8?. 由棣莫佛-拉普拉斯定理知 棣莫佛(Abraham de Moivre) 主要的贡献是在一般分布与概率论上, 包括斯特林公式以及棣莫佛-拉普拉斯定理. 法国数学家. 发现了棣莫佛公式, 将复数与三角学联系起来. 1667-1754 李雅普诺夫( Aleksandr Mikhailovich Lyapunov) 俄国数学家、力学家, 是切比谢夫创立的彼得堡学派的杰出代表. 1857-1918 在概率论方面, 创立了的特征函数方法, 实现了概率论极限理论在研究方法上的突破. 是常微分方程运动稳定性理论的创始人. 拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace) 法国著名的天文学家和数学家,天体力学的集大成者. 1749-1827 因著名杰作《天体力学》被誉为是法国的牛顿.首次提出“天体力学”这一学科名称. 是现在广泛应用于各个领域的拉普拉斯变换和拉普拉斯方程的发现者. 下 回 停 一、问题的提出 二、中心极限定理 第二节 中心极限定理 一、问题的提出 由上一节大数定理,我们得知满足一定条件 的随机变量序列的算数平均值依概率收敛, 但 我们无法得知其收敛的速度, 本节的中心极限 定理可以解决这个问题. 在实际中, 人们发现 n 个相互独立同分布 的随机变量之和的分布近似于正态分布, 并且 n 越大,近似程度越好. 定理4.6 林德贝格-列维中心极限定理 二、中心极限定理 且具有数学期望与方差 设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立, 服从同一分布, 则随机变量 E?Xi? ? ?, D?Xi?? ? 2 ? 0 ?i=1, 2,…, n? 的分布函数Fn?x? 对于任意 x 满足 2? 注 1? 近似程度越好. n越大, 3? 的和近似服从正态分布. 定理4.6表明n个相互独立同分布的随机变量 一加法器同时收到20个噪声电压Vk 解 由于Vk?U ?0, 10 ?, 易知 ?k=1, 2,…, 20?. 设它们是相互独立的随机变量, 例1 由林德贝格-列维中心极限定理知 近似服从标准正态 分布N?0, 1?, 于是 设随机变量Yn服从二项分布B?n, p?, 则其标准化 随机变量 的分布函数的极限为 定理4.7 棣莫佛-拉普拉斯定理 证 令 X1, X2,…, Xn独立, 同时服从B? 1, p ?分布, 且 由于 E?Xi? ? p, D?Xi? ? p ?1? p ? ?i=1, 2,…, n?, 证毕. 由定理4.6得 注 1? 定理4.7表明正态分布是二项分布的极限 3? 实际应用中当n很大时, 分布也称为“二项分布的正态近似”. 2? 与“二项分布的泊松近似”相比较, 两种近 似都要求n很大. ?1? 如果p很小而np不太大时, 采用泊松近似; ?2? 如果 np ? 5 和 n?1? p ? ? 5 同时成立时, 采用正态近似. 下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近. 某车间有200台机床,它们独立地工作着, 开工 解 设 率均为0.6, 开工时耗电均为1000W, 问供电所至少 要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证 这个车间不会因供电不足而影响生产. i=1, 2,…, 200, 例3 问题是求r,