§1.3初边值问题的分离变量法范本.ppt

* 由边界条件，得 是满足方程和边界条件的解。 * 叠加所有解，得 代入初始条件，得 由特征函数系的正交性，得 □ * 其它边界条件的情形－2 解： 代入边界条件可得： 求解固有值问题： * 由边界条件，得 是满足方程和边界条件的解。 得 * 叠加所有解，得 代入初始条件，得 由特征函数系的正交性，得 □ * 作业：P.22-23 1:(2),2-4 * * * * 上页 下页 返回 * §3 初边值问题的分离变量法 分离变量法 解的物理意义 非齐次方程的情形 非齐次边界条件的情形 * 利用叠加原理，(A)的解可看作下列两问题解的叠加： (A) * 1.问题(I)的求解——分离变量法★ 将(3.7)代入方程(3.4)得 分离变量, 得 (3.8) * (3.9) (3.10) 故 X, T 应分别满足常微分方程： (3.8) * 从而X(x)应是下列常微分方程边值问题的非平凡解： * 情形B：l = 0 方程(3.10)的通解为： 情形A ：l 0 方程(3.10)的通解为： 代入边界条件(3.11)得: 代入(3.11)得 * 由边界条件(3.11) 情形C：l 0 方程(3.10)的通解为： (3.12) (3.13) 相应于lk的固有函数为： 其中Dk为任意常数。 * 通解为 其中Ak， Bk为任意常数。 因此 是满足方程(3.4)和边界条件(3.6)的解。 (3.14) * 为寻求满足初始条件(3.5)的解，叠加所有的Uk ，即 由叠加原理，(3.15)也满足方程(3.4)和边界条件(3.6)，称为半通解。将(3.15)代入初始条件(3.5)，得： (3.15) * 陈纪修等《数学分析.下》，高教出版社，P。77,定理10.2.6’. * (3.16) 将(3.16)代入(3.15)中得定解问题(Ⅰ)的形式解: (*) * □ 利用具有分离变量形式的特解来构造原问题的解， 这种方法称为分离变量法。 * * * (3.15) □ 问题（Ⅰ）——左右行波的叠加 * 2. 解的物理意义 振幅 k=1：基波、基音k≠1：谐波、泛音 固有频率 初相位 驻 点 分离变量法 又称驻波法 * 解：以u(x,t)表示弦上各点 的位移，则u(x,t)满足： x O c u l h * 利用(3.15)，(3.16) 从而 * 3. 非齐次方程的情形 * 解法同问题(I)，故 (3.29) * 把(3.29)代入(3.27)，得混合问题(Ⅱ)的形式解： (3.31) 可用付氏变换法求非齐次方程 * 非齐次方程的付氏解 设问题(A)的解可展开成付氏级数 (A) 将级数(c)代入方程(3.1)，得 * 则(3.1’)化为 故 * 将级数(c)代入初始条件(3.2)中，得 * 求解常微分方程初值问题 得 从而 * 4、非齐次边界条件的情形 (B) ① 构造辅助函数U(x, t)，使其满足给定的边界条件(3.34)，即满足U(0, t)=m1(t)，U(l, t)=m2(t) ② 令u(x, t)= v(x, t)+U(x, t)， 代入问题(B)，得 从而化为问题(A)的类型。 * 一般地，辅助函数U(x, t)可取为 x 的线性函数，即 若两端都是第二类边界条件，则可取为 x 的二次函数 其中A(t), B(t)可由边界条件确定。 如，由(3.34) 故可设 * * 其它边界条件的情形－1 解： 代入边界条件可得： 求解固有值问题： 上页 下页 返回 * * * *