§5.5反常积分范本.ppt

第5章 定积分及其应用 §5.5　反常积分 一、无穷区间上的反常积分 定义1 (5.5.1) 这时也称反常积分 收敛; 如果上述极限不存在, 则称为反常积分 发散. 设函数 在区间 上连续,取 ,如果极限 上的 反常积分, 记为 即 存在, 则称此极限为函数 在无穷区间 §5.5　反常积分 第5章 定积分及其应用 第5章 定积分及其应用 §5.5　反常积分 类似地, 设函数 在无穷区间 上连续, 取 如果极限 存在, 在无穷区间 上的反常积分, 记为 这时也称反常积分 收敛; 如果上述极限不存在, 就 称反常积分 发散. 则称此极限为函数 第5章 定积分及其应用 §5.5　反常积分 设函数 在无穷区间 上连续, 如果反常积分 和 都收敛, 则称上述两反常积分之和为函数 在无穷区间 上的反常积 分, 这时也称为反常积 分 收敛; 记作 发散. 否则就称反常积分 第5章 定积分及其应用 §5.5　反常积分 例1 计算反常积分 解 例2 计算反常积分 解 第5章 定积分及其应用 §5.5　反常积分 例3 讨论反常积分 的敛散性. 解 当 时, 有 当 时, 有 因此, 当 时, 收敛, 其值为 当 时, 发散. 1 1 p dx x +￥ ò 第5章 定积分及其应用 §5.5　反常积分 二、无界函数的反常积分 如果函数 在点 的任一个邻域内都无界，那 么点 称为函数 的瑕点。 定义2 设函数 在区间 上连续, 存在, 则称此极限为函数 在 上的反常积分, 记为 的瑕点。 为 而点 , 如果极限 取 即 第5章 定积分及其应用 §5.5　反常积分 这时也称反常积分 收敛; 在 称函数 上的反常积分 发散. 类似地, 设函数 在 上连续, 点 为 的瑕点. 如果极限 存在, 则称此极限为函数 在 上的反常积分, 记为 ，即 这时也称反常积分 收敛; 如果上述极限不存在, 就称 反常积分 发散. 即 如果上述极限不存在, 就 第5章 定积分及其应用 §5.5　反常积分 如果反常积分 和 都收敛, 则称上述两反常积分之和为函数 在 上的反常积分, 记作 这时也称为反常积分 收敛; 设函数 在 上除点 外连续, 点 为 的瑕点. 发散。 否则就称反常积分 第5章 定积分及其应用 §5.5　反常积分 例4 计算反常积分 . 解 显然点 为此函数的瑕点. 所以 . 例5 计算反常积分 解 显然点 为此函数的瑕点. 所以 故此反常积分发散. 第5章 定积分及其应用 §5.5　反常积分 例6 讨论反常积分 的敛散性. 解 当 时, 有 当 时, 有 因此, 当 时, 收敛, 其值为 当 时, 发散.