§19.2.含参量反常积分范本.ppt

皖西学院 数理系 数学分析 三、含参量反常积分的性质 一、 含参量反常积分的一致收敛性 二、含参量反常积分一致收敛性的判别 三、含参量反常积分的性质 本节研究形如 的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积 性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情 况可类似处理。 一、含参量反常积分的一致收敛性 都收敛， 其中 N 与 x 有关. 使得该不等式成立， 一致收敛. 设反常积分 在 I上 收敛, 使得 由反常积分收敛的定义， 就称反常积分在I上 定义1 所以定义中的不等式 由于 也可表示为 首页 × 二、含参量反常积分的一致收敛性的判别 定理19.8 分析 要证： 例1. 首页 × 证: 令 u = x y , 得 其中 A 0. 由于 收敛，故 有 取 则当 首页 × 所以 一致收敛. 从而 首页 × 关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理. 定理19.9 证 因为，有 并且反常积分 收敛 所以 例2 Abel 判别法和Dirichlet判别法(A-D判别法） ⑴（Abel判别法） ⑵（Dirichlet判别法） 收敛， 证 因为，反常积分 从而对于参量 y 它在 [ 0, d ] 上一致收敛， 函数 对每个 y ∈[ 0, d ]，关于变量 x 单调减少，且 g (x,y)一致有界,即： 故由阿贝尔判别法，知 在[ 0, d ] 上一致收敛 例 3 首页 × 由狄利克雷判别法， 定理 19.10（连续性） 设 在 上连续， 首页 × 注: 此定理表明, 在一致收敛的条件下极限运 算与积分运算可以交换顺序: 首页 × 定理 19.11 注: 最后结果表明在定理条件下，求导运算和 积分运算可以交换顺序. 上连续， 首页 × 定理 19.12（可积性） 上连续， 注: 此定理表明, 在一致收敛的条件下积分可以交换顺序。 积分 与 中有一个收敛，则另一个积分也收敛，且 解 于是，可交换积分顺序， 解：在例4中令b=0,则有 例6 此结论在第21章 * *