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附录I：截面的几何性质 一 截面的静矩和形心 图所示等腰直角三角形，求其静矩和形心坐标 所示图形由两个长10m宽2m的矩形组合而成，试确定静矩和形心位置。 试确定图示梯形面积的形心位置，及其对底边的静矩。 如图所示将截面任意分为两部分A1与A2，证明这两部分面积对整个截面形心轴xc的静矩绝对值相等。 性 质： 例题1: 计算高h、宽b的矩形对其对称轴y和z的惯性矩。 例题2:平行四边形？ 例题3: 半径为R的圆形的惯性矩计算。 例题3:内径d外径D空心圆截面呢？ 例题3: 直径为D的圆形的惯性矩计算。 * 横截面的面积A 横截面的极惯性矩：Ip A 当截面由若干简单图形组成 y x y x dA O 一次矩 例题I.1 ? 1、静矩： x y 10 2、形心坐标： 10 直线方程：y=10-x；或：x=10-y 例题I.2 ? 1、组合图形静矩： 2 x y 10 面积： A1=A2=20m2 形心坐标： 2、组合图形形心位置： 例题I.3 ? 解： 图形对底边的静矩 形心位置 a b h x y O C1x C2x 例题I.4 ? 设： A1，A2对xc轴的静矩分别为Sxc1和Sxc2 证毕 3 截面对形心轴的静矩为零 4 若截面对某轴的静矩为零，则该轴 必为形心轴 1 截面图形的静矩相对坐标轴定义的，与坐标轴有关 2 静矩的值可能为正、负、也可能为零 y x y x ρ dA O 二 极惯性矩.惯性矩.惯性积 惯性半径： dA x y O x y 任意形状的截面图形的面积为A，则图形对y轴和x轴的惯性半径分别定义为 惯性半径的特征： 1.惯性半径是对某一坐标轴定义的。 2.惯性半径的单位为m。 3.惯性半径的数值恒取正值。 惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯性矩是对点定义的。 惯性矩和极惯性矩永远为正，惯性积可能为正、为负、为零。 任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂直的轴的惯性积为零。 对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远，其惯性矩越大。 组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积 y z 解：根据惯性矩公式，计算步骤如下： h b y z 解：根据惯性矩公式，计算步骤如下： h b 解决方案：分区计算； y z 解：根据惯性矩公式，计算步骤如下： y z 解：根据组合图形惯性矩公式： 若有空心部分，则减。 [例] 组合图形（截面）的惯性矩 三 惯性矩.惯性积的平行移轴公式 xc yc y x O a dA 在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小 解：根据平行移轴公式： y1 y z a xc yc y x O a [例] 组合图形（截面）的惯性矩 四 惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的主惯性轴和主惯性矩 X y O x1 y1 主惯性轴: 图形对某对坐标轴惯性积为零,这对坐标轴称为该图形的主惯性轴 主惯性矩: 图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩 形心主轴: 过形心的主轴称为主形心轴 形心主矩: 图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩 课堂练习 I. ? 在下列关于平面图形的结论中，（ ）是错误的。 A.图形的对称轴必定通过形心； B.图形两个对称轴的交点必为形心； D.使静矩为零的轴必为对称轴。 C.图形对对称轴的静矩为零； D 在平面图形的几何性质中，（ ）的值可正、可负、也可为零。 A.静矩和惯性矩；B.极惯性矩和惯性矩； C.惯性矩和惯性积；D.静矩和惯性积。 D 课堂练习 I. ? 图示任意形状截面，它的一个形心轴zc把截面分成Ⅰ和Ⅱ两部分，在以下各式中，（ ）一定成立。 Ⅰ Ⅱ ZC C 课堂练习 I. ? 图a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面积。设它们对对称轴x的惯性矩分别为 对对称轴y的惯性矩分别为 ，则（ ）。 C 任意图形的面积为A，x0轴通过形心C， x1 轴和x0轴平行，并相距a，已知图形对x1 轴的惯性矩是I1，则对x0 轴的惯性矩为（ ）。 课堂练习 I. ? B A. 形心轴； B. 主轴 C. 主形心轴 D. 对称轴 在图示开口薄壁截面图形中，当（ ）时，y-x轴始终保持为一对主轴。 课堂练习 I. ? 任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。 B A. y轴不动，x轴平移； D. y、x同时平移。 B. x轴不动，y轴平移