力学截面图形几何性质案例.ppt

材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案 * 第一节 静矩和形心 一、静矩(面积矩）定义： 微面积dA对z轴和y轴的静矩分别为 和 截面（面积A)对z轴和y轴的静矩分别为： 静矩为代数值。静矩单位： 不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同一截面对不同坐标轴的静矩也不同。 若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作等厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得： 当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，则截面对该轴的静矩为零。 * 二、形心公式： 三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为： 四、组合截面形心公式： 例5-1 求图示T形截面形心位置。 解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则 若分解为１、２、３三个矩形，则 * 解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴， 过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则 求图示图形的形心。 x 150 y C O x1 y1 200 10 yC 300 I II III 10 由于对称知： xc=0 目录 * 求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。 O C r x y dA yC y dy 解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条， 所以 目录 * 第二节 惯性矩和惯性积 一、极惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ2dA,称为该面积dA对于坐标原点o的极惯性矩。 截面对坐标原点o的极惯性矩为： 简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。 实心圆截面： 空心圆截面： 二、惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为：y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为： * 定义:平面图形内，微面积dA与其两个坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为该图形对z、y轴的惯性积。 特点：①惯性积是截面对某两个正交 坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积 均不同。惯性积是代数值。 单位： ②若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。 惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。 惯性矩单位：m4或mm4； 惯性矩恒为正值。 简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。 三、惯性积： * 例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则： 取微面积dA=hdz,则： 例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则： 取微面积dA=dzdy，则： * 第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 ?组合截面的惯性矩和惯性积 1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式 设有面积为A的任意形状的截面。 C为其形心，Cxcyc为形心坐标系。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标系为Oxy ,形心C在在Oxy坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元dA在两坐标系下的坐标关系为： a yc y xc x C O b dA xc yc y x * 同理，有： （此为平行移轴公式 ） 注意： 式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。 等号右边各首项为相对于形心轴的量。 * 2.组合截面的惯性矩和惯性积 根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和： * 求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。 解： （1）求形心坐标 x y b(y) yc C d xc * （2）求对形心轴xc的惯性矩 由平行移轴公式得： x y b(y) yc C d xc * 试求图a 所示截面对于对称轴x的惯性矩。 解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。 （1）矩形对x的惯性矩： （2）一个半圆对其自身形心轴xc的惯性矩（见上例） x y C (a) d =80 40 100 a =100 40 a + 2d 3 p *