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【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十章 计数原理 10.3 二项式定理 理 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C(r∈{0,1,2，…，n}) 2.二项式系数的性质 (1)0≤r≤n时，C与C的关系是C＝C. (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为和. (3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n， C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 【知识拓展】 二项展开式形式上的特点 (1)项数为r＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C，C，一直到C，C. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Can－rbr是二项展开式的第r项．(　×　) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　×　) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　√　) (4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(　×　) (5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(　×　) 1．(教材改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是______________． 答案　(－1)m－1C 解析　(x－y)n展开式中第m项的系数为C(－1)m－1. 2．(2－)8的展开式中，不含x4的项的系数的和为__________________． 答案　0 解析　由通项公式，可得展开式中含x4的项为T8＋1＝C28－8(－1)8x4＝x4，故含x4的项的系数为1.令x＝1，得展开式的系数的和S＝1，故展开式中不含x4的项的系数的和为1－1＝0. 3．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C＝________. 答案　63 解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63. 4．(教材改编)5展开式中的常数项为________． 答案　40 解析　Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C(－2)rx10－5r. 令10－5r＝0，则r＝2. ∴常数项为T3＝C(－2)2＝40. 5．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是________． 答案　168 解析　∵(1＋x)8的通项为Cxr，(1＋y)4的通项为Cyt，∴(1＋x)8(1＋y)4的通项为CCxryt，令r＝2，t＝2，得x2y2的系数为CC＝168. 题型一　二项展开式 命题点1　求二项展开式中的特定项或指定项的系数 例1　(1)(2015·广东)在(－1)4的展开式中，x的系数为________． (2)(2015·课标全国Ⅰ改编)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________． 答案　(1)6　(2)30 解析　(1)由题意可知Tr＋1＝C()4－r(－1)r，令＝1解得r＝2，所以展开式中x的系数为C(－1)2＝6. (2)方法一　利用二项展开式的通项公式求解． (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5. 所以x5y2的系数为CC＝30. 方法二　利用组合知识求解． (x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CC＝30. 命题点2　已知二项展开式某项的系数求参数 例2　(2015·课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________. 答案　3 解析　设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5， 令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)， 即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3. 思维升华　求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，