数学建模的基本技能与方法【参考】.docVIP

第一讲 数学建模及大学生数学建模竞赛 近几十年来，随着科学技术的进步，特别是电子计算机的诞生和不断完善，数学的应用已不再局限于物理学等传统领域，生态学、环境科学、医学、经济学、信息科学、社会科学及一些交叉学科都提出大量有待解决的实际研究课题。要用定量分析的方法解决这些实际问题，十分关键而又十分困难的一步就是要建立恰当的数学模型。建立数学模型的过程需要把错综复杂的实际问题抽象为简单合理的数学结构，要做到这一点，既需要丰富的想象力，又需要去寻找较合适的数学工具，从某种意义上讲，它是能力与知识的综合运用。 一、什么是数学建模 数学建模（Mathematical Modeling）简单地说就是建立数学模型的过程。 可以说数学建模是一种数学的思考方法，是“对现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征表示，常常是形象化的或符号的表示。”从科学、工程、经济、管理等角度看数学建模就是用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并“解决”实际问题的一种强有力的数学工具。顾名思义，modeling一词在英文中有“塑造艺术”的意思，从而可以理解从不同的侧面、角度去考察问题就会有不尽相同的数学模型，从而数学建模的创造又带有一定的艺术的特点。而数学建模最重要的特点是要接受实践的检验、多次修改模型渐趋完善的过程，这可以用如下框图来表示： 若不符合实际 若符合实际 下面再以流行病学中的一个例子（像流感、艾滋病等传染病的传播规律）为例作一个简单说明。 设发生传染病地区的总人口N不变，用x(t)表示患病人数所占的百分比（因而总人口所占百分比为1）。 （1）俗话说“一传十，十传百”就是一种简化，设感染率为h，则数学模型为： 由此可解得 这时易见，显然是不符合实际的。 （2）实际情况应是未得病者会感染得病，设感染率为h，而得病者中由于治疗，一部分人会康复，设康复率为r，则得数学模型为： 解此方程 将初始条件代入上式可求得：，所方程的解为： 有，至少定性地看来要合理得多，但用这样的模型于实际情形就会发现仍有许多不符合实际的地方。 （3）实际上应把人们分成已感染者，未感染者，已恢复者（包括已死亡者），而，于是可建立所谓的SIR模型： 及相应的初始条件。这时人们会发现不容易求到显式解了，而数学分析在一定阶段是重要的。 由此可见数学建模的这种迭代的性质正反映了人们运用这种方法逐步逼近、真正认识、掌握实际问题的过程，从而达到预测、预报或指导实验以至指导生产的目的。 二、数学建模的起源和发展 数学建模并不是新东西（尽管过去很长时间这一术语用得很少），可以说有了数学并要用数学去解决实际问题就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划实际问题，而这种刻划的数学表述就是一个数学模型，其过程就数学建模过程。因而可以说有了数学并用数学去解决实际问题，就有了数学建模，而欧几里得创立的欧氏几何，牛顿、莱布尼兹发明的微积分都是很能好的数学模型。问题是当一个数学模型表达出来后，就要用一定的技术手段（例如推理证明、计算等）求解该数学问题并用实际验证，若需要就要修改数学模型并重复上述过程。如果中间有一步完不成，整个数学建模过程就很难完成。而大量的计算又往往是建模过程中必不可少的，过去在高性能电子计算机尚未产生之前，正是由于缺乏这一技术手段而一定程度上限制了建模这一强有力方法的应用和发展。当然，由于实际应用的需要，数学建模的活动从未停止过。而电子计算机（特别是80年代超级电子计算机）的出现使数学建模这一方法如虎添翼似地得到了飞速发展，掀起了一个高潮。 在前面我们已经畅述了数学建模是一个需要多次反复的过程，由此可见数学建模的这种迭代的性质正反映了人们运用这种方法逐步逼近、真正认识、掌握实际问题的过程，从而达到预测、预报或指导实验以至指导生产的目的。这里需要指出的是参数的确定常常是关键的一步。 正是由于上述这种特点，有人指出“今天，在技术（科学）中最有用的数学研究领域是数值分析和数学建模。”在某种意义下数学建模已经发展成一个相对独立的数学分支，而且不断向应用数学和纯粹数学提供大量的挑战性问题，从而推进了数学科学的发展。特别要提到的是近年来正在迅速发展的工业数学（industrial mathematics）中（工业数学首先是数学，但也不是一类新的数学，简言之，它关心的问题是怎样在非数学的领域中应用现有的或发展新的数学方法来解决实际问题以求得更高的经济、社会效益），数学建模是关键的一步。正是由于数学建模的重要性，为了推动数学建模的研究、学术交流，从80年代起就有众多的学术活动、国际会议以及国际性和地区性的数学建模杂志。主要的