2013年考数学总复习 9-7 用向量方法证明平行与垂直(理)但因为测试 新人教B版.docVIP

基础巩固强化1.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为侧面CC1D1D的中心．若＝z＋x＋y，则x＋y＋z的值为(　　) A．1　　　　B.　　 　C．2　　　　D. [答案]　C [解析]　＝＋＝＋＋. x＋y＋z＝1＋＋＝2. 2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使lα的可能是(　　) A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1，－2,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3，－1) [答案]　B [解析]　欲使lα，应有na，n·a＝0，故选B. 3．二面角α－l－β等于60°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，ACl，BDl，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长等于(　　) A.a B.a C．2a D．a [答案]　C [解析]　如图．二面角α－l－β等于60°， 与夹角为60°. 由题设知，，，||＝||＝a，||＝2a， ||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝4a2，||＝2a. 4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(4,5，x)，若a、b、c三向量共面，则|c|＝(　　) A．5 B．6 C. D. [答案]　C [解析]　a、b、c三向量共面， 存在实数λ、μ，使c＝λa＋μb， (4，－5，x)＝(2λ－μ，－λ＋4μ，3λ－2μ)， ∴x＝5， |c|＝＝. 5．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则·的值为(　　) A．a2 B.a2 C.a2 D.a2 [答案]　C [解析]　·＝(＋)· ＝(·＋·) ＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2. 故选C. 6．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足＝－＋，则||2的值为(　　) A. B．2 C. D. [答案]　D [解析]　由题意，翻折后AC＝AB＝BC， ABC＝60°，||2＝|－＋|2 ＝||2＋||2＋||2－·－·＋·＝＋＋2－×1×1×cos60°－1×cos45°＋1××cos45°＝. 7．(2012·河南六市联考)如图，在平行四边形ABCD中，·＝0,2 2＋ 2＝4，若将其沿BD折成直二面角A－BD－C，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为________． [答案]　π [解析]　因为ABBD，二面角A－BD－C是直二面角，所以AB平面BCD，AB⊥BC，ADDC.故ABC，ADC均为直角三角形．取AC的中点M，则MA＝MC＝MD＝MB，故点M即为三棱锥A－BCD的外接球的球心．由22＋2＝42＋2＋2＝2＝4，AC＝2，R＝1.故所求球的体积为V＝π. 8．(2011·金华模拟)已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为________． [答案]　(，－1，) [解析]　C为线段AB上一点， 存在实数λ0，使＝λ， 又＝(－2，－6，－2)，＝(－2λ，－6λ，－2λ)， ＝，λ＝，＝(－，－2，－)， C(，－1，)． 9.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和的值为________． [答案]　1 [解析]　以D1为原点，直线D1A1、D1C1、D1D为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)， 设DF＝t，CE＝k，则D1F＝1－t，F(0,0,1－t)，E(k,1,1)，要使B1E平面ABF，易知ABB1E，故只要B1EAF即可， ＝(－1,0，－t)，＝(k－1,0,1)， ·＝1－k－t＝0，k＋t＝1，即CE＋DF＝1. 10.(2012·天津调研)如图，四棱锥P－ABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，ABC＝BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1. (1)求证：平面PAC平面PCD； (2)在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由． [解析]　(1)证明：PA⊥平面ABCD， PB与平面ABCD所成的角为PBA＝45°. AB＝1，由ABC＝BAD＝90°， 易得CD＝AC＝，AC⊥CD. 又PA⊥CD，PA∩AC＝A， CD⊥平面PAC，又CD平面PCD， 平面PAC平面PCD. (2)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)， 设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，