2014届考数学人教A版(理)一轮复习第八篇 第8讲 立体几何中的向量方法(二).ppt

求二面角的方法：(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角；(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 【训练3】 (2012·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF. (1)求证：BD⊥平面AED； (2)求二面角F-BD-C的余弦值． (1)证明　因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°. 又CB＝CD，所以∠CDB＝30°， 因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD. 又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED， 所以BD⊥平面AED. 【命题研究】 以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点，它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐．此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立．“是否存在”的问题的命题形式有两种情况：如果存在，找出一个来；如果不存在，需要说明理由．这类问题常用“肯定顺推”的方法．求解此类问题的难点在于：涉及的点具有运动性和不确定性．所以用传统的方法解决起来难度较大，若用空间向量方法来处理，通过待定系数法求解其存在性问题，则思路简单、解法固定、操作方便． 热点突破19——利用空间向量解决立体几何中的存在性问题 【真题探究】? (2012·福建)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点． (1)求证：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得 DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由； (3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长． [备考] 解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．如本题把线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用两向量数量积为零，得参数z的方程．即把线面平行有关的存在性问题转化为方程有无解的问题． 【试一试】 如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的 长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． (1)求证：AC⊥SD. (2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由． 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 第8讲　立体几何中的向量方法（二） 【2014年高考会这样考】 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用. 考点梳理 (1)异面直线所成的角 如图，已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b.则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 1．空间的角 (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． ①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角． (3)二面角的平面角 如图在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角． (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cos θ＝___________________. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝_________________. (3)求二面角的大小 2．空间向量与空间角的关系 |cos〈m1，m2〉| |cos〈m，n〉| (ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α， β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝______________ 或______________． cos〈n1，n2〉 cos〈n1，n2〉 两个关系 (1)异面直线所成角与向量夹角的关系 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角． (2)二面角与向量夹角的关系 设二面角的两个面的法向量分别为n1，n2，则〈n1，n2〉或π－〈n1，n2