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第42课 方案设计型问题 方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优，方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力．方案设计型问题，主要有以下几种类型： 1．讨论材料，合理猜想——设置一段讨论材料，让考生进行科学的判断、推理、证明； 2．画图设计，动手操作——给出图形和若干信息，让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案； 3．设计方案，比较择优——给出问题情境，提出要求，让考生寻求最佳解决方案． 1．方案设计型问题对解题的要求 方案设计题，它要求学生根据题意设计符合条件的方案，或对已知方案进行评判，涉及到的知识点主要有函数思想、分类讨论的思想、统计与概率、锐角三角函数、方程(组)或不等式(组)的应用以及图形变换等，对学生的能力要求较高，符合新课标的理念． 2．方案设计型问题的解题策略 在解答方案设计型考题时，关键是将实际问题转化为数学模型，并且要求将求出的不同结果再转化为具有现实意义的各种方案进行选择，方案设计问题的解答是多样的，需从不同的结论中选择最佳方案． 1．(2010·大兴安岭)现有球迷150人欲同时租用A、B、C三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A、B、C三种型号客车载客量分别为50人、30人、10人，要求每辆车必须满载，其中A型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有(　　) A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 　 解析：分类讨论：当A租用一辆时，有3种方案；当A租用2辆时，有1种方案，所以共有4种租车方案． 2．如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是(　　) A．2 B．4 C．8 D．10 　 解析：阴影部分是正方形 面积的 ， ×42＝4. 3．在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影(如图)，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　 解析：如图，符合条件的小正方形有3个． 4．小明家春天粉刷房间，雇用了5个工人，每人每天做8小时，做了10天完成；用了某种涂料150升，费用为4800元；粉刷的面积是150 m2.最后结算工钱时，有以下几种方案：①按工算，每个工60元(1个工人干1天是一个工)；②按涂料费用算，涂料费用的60%作为工钱；③按粉刷面积算，每平方米付工钱24元；④按每人每小时付工钱8元计算．你认为付钱最划算的方案是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 　 解析：方案①：5×10×60＝3000(元)； 方案②：4800×60%＝2880(元)； 方案③：150×24＝3600(元)； 方案④：5×8×10×8＝3200(元)． 所以方案②最省钱，选B. 5．(2010·晋江)如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；……；根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是(　　) A．669 B．670 C．671 D．672 解析：设操作了n次，有(3n＋1)个小正方形， 所以3n＋1＝2011， ∴3n＝2010，n＝670，应选B. 题型一　通过计算比较进行方案设计 【例 1】 某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)： 方案1：所有评委所给分的平均数； 方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数； 方案3：所有评委所给分的中位数； 方案4：所有评委所给分的众数． 为了探究上述方