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§4 本征函数的正交性 如果F 的本征值λ组成连续谱，则本证函数Φλ可以归一化为δ函数，有 §5 算符与力学量的关系 §6 两力学量同时具有确定值的条件 对于两个算符不对易的情况。一般地讲，它们不能同时具有确定值－－测不准关系。 上述关系说明，动量分量和它所对应的坐标是不对易的，而和它不对应的坐标是对易的，动量各分量之间也是对易的。 要完全确定体系所处的状态，需要有一组相互对易的力学量。这一组完全确定体系状态的力学量，称为力学量的完全集合。在完全集合中力学量的数目一般与体系自由度的数目相等。例如，氢原子中电子的自由度为3，完全确定它需要的状态需要三个相互对易的力学量H,L2和LZ，或三个量子数n,l和m。 * 第三节 量子力学中的力学量 §1 力学量的算符表示 §2 基本力学量 §3 电子在库仑场中的运动（氢原子） §4 本征函数的正交性 §5 算符与力学量的关系 §6 两力学量同时具有确定值的条件 §7 测不准关系 §1 力学量的算符表示（1）算符定义 算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。设某种 运算把函数u变成v ，用符号表示为 则表示这种运算的符号 就称为算符。 如果算符 作用于一个函数Ψ，结果等于Ψ乘上一个常数λ，即 则称λ为 的本征值，Ψ为属于λ的本征函数，方程称为算符 的本征值方程。求力学量F的本征值问题，归结为解本证值方程。薛定谔方程即为本征值方程。 物理意义：当体系处于 的本证态Ψ 时，力学量F具有确定的值，这个值就是 在Ψ 态中的本证值 。 （2）算符的一般特性 （1）算符是线性的 （2）厄米算符 如果对于两任意函数ψ和φ，算符 满足下列等式 则 称为厄米算符，式中x代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。只有满足这个条件的算符，才能表示实的物理量。 由于： 厄米算符的平均值是实数 与力学量对应的算符必须是线性的，这是态迭加原理所要求的。 关于厄米算符的运算有： （1）相等 （2）相加 （3）相乘 若 有 则称 和 是对易的。 §2 基本力学量 （1）坐标和动量算符 坐标算符： 动量算符： 动量算符的本征值方程是 式中p是动量算符的本征值，φp(r)是属于这个本征值的本征函数 （1） （1）式的三个分量方程是 （2） 方程（1）的解是 （3） x y z A A’ o L 设想粒子被限制在一个箱长为L的立方体箱中，如图所示。要求 波函数在两个相对的箱壁上对应的点具有相同的值，波函数所满足 的这种边界条件称为周期性边界条件。再由归一化条件： 因而 像这样把粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件的 归一化方法，称为箱归一化。 （2）角动量算符 经典力学 角动量 量子力学 角动量算符 在直角笛卡尔坐标中的三个分量算符是 角动量平方算符 由于角动量平方算符中含有关于 x，y，z 偏导数的交叉项,所以直角坐标下角 动量平方算符的本征方程不能分离变量,难于求解,为此采用球坐标较为方便。 角动量算符在球坐标中的表达式为： 的本征值方程可以写为 其中 Y(?,?) 是 L2 算符的本征函数，属于本征值λ?2 的。 方程两边必须等于同一常数，以m2 表示，得 关于? 的方程的解 将上式代入 的本征值方程，并以 乘方程两边，整理得 通解即为这些特解的迭加。 由归一化条件而得。 即 m ＝0，±1， ±2， ±3，……， m称为磁量子数 根据波函数的单值条件 特解 求解函数Θ（ θ ）。 关于Θ的方程变为 令 代入Θ（ θ ）的方程中，得出的函数以P（ζ）表示 为使 Y(?,?) 在? 变化的整个区域(0, π)内都是有限的则必须满足： ? = ?（ ? + 1 ），其中 ? = 0, 1, 2，3，…… 和? ≥│m│ 方程的解叫作缔合勒让德（Legendre） 函数 Pl（ζ）称为勒让德（Legendre）多项式。 关于Y(?,?)方程的解就是球函数 Yl m(?,?)，其表达式： Nlm是归一化常数，由归一化条件 可以算得 由上面的结果可以知 的本征值是