上海高二数暑假辅导班 数学暑假补习班.ppt

共 56 页 §3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 自 学 导 引 (学生用书P77) 1.会用向量表示空间中的点、直线和平面的位置. 2.掌握用向量表示线、面之间的位置关系. 课 前 热 身 (学生用书P77) 1.直线的方向向量是指和这条直线__________________的向量,一条直线的方向向量有__________个.2.平面的法向量是指和这个平面__________的直线的__________向量,一个平面的法向量有__________个. 3.若直线的方向向量是u=(a1,b1,c1),平面α的法向量v=(a2,b2,c2).(1)l∥α或lα?u⊥v??____________?____________.(2)l⊥α?u∥v?_____________?________________. 名 师 讲 解 (学生用书P77) 1.空间点、线、面的位置(1)在空间中,任取一个定点O为基点,那么空间任一点P的位置可由向量 (2)空间任一直线l的位置可由l上一个定点A以及一个方向来确定,如图(2),点A∈l,向量a表示直线l的方向向量,则对于直线l上的任意一点P,有 (3)空间中平面α的位置可由α内两条相交直线来确定,如图(3).设这两条直线相交于O点,它们的方向向量分别为a,b,P为平面上任意一点,由平面向量基本定理知,存在有序实数对(x,y),使得 2.利用空间向量解决立体几何问题的一般方法 (1)先利用空间向量表示空间点、直线、平面等元素,建立立体图形和空间向量的联系; (2)进行空间向量的运算; (3)由向量运算结果回归几何结论. 3.求平面的法向量的方法步骤 (1)建立适当的坐标系; (2)设平面的法向量为n=(x,y,z); (3)求出平面内两个不共线的向量a=(a1、b1、c1),b=(a2,b2,c2); 典 例 剖 析 (学生用书P77) 题型一 判断线与线、面与面的位置关系 例1:解答下列问题: (1)设a、b分别是l1、l2的方向向量,根据下列条件判断l1与l2的位置关系. ①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3); ②a=(5,0,2),b=(0,4,0); (2)设u,v分别是平面α、β的法向量,根据下列条件判断α、β的位置关系. 规律技巧:(1)直线的方向向量与直线位置关系间的内在联系是:l1∥l2?a∥b,l1⊥l2?a⊥b,据此可以判断两直线的位置关系. (2)平面法向量与两平面位置关系间的内在联系是:α∥β?u∥v,α⊥β?u⊥v,据此判断两平面的位置关系. 变式训练1:(1)直线l1、l2的方向向量分别是a=(1,-3,-1),b=(8,2,2),判断直线l1与l2的位置关系; (2)已知平面α、β的法向量分别是u=(1,3,0),v=(-3,-9,0),判断α与β的位置关系. 题型二 判断直线与平面的位置关系 例2:设u是平面α的法向量,a是直线l的方向向量,根据下列条件判断α和l的位置关系:(1)u=(2,2,-1),a=(-3,4,2);(2)u=(0,2,-3),a=(0,-8,12);(3)u=(4,1,5),a=(2,-1,0). 解:(1)∵u=(2,2,-1),a=(-3,4,2),∴u·a=2×(-3)+2×4+(-1)×2=0,∴u⊥a,∴直线l和平面α的位置关系是l?α或l∥α. 变式训练2:(1)若直线l的方向向量a=(3,2,1),平面α的法向量u=(-1,2,-1),则l与α的位置关系是( ) A.l∥α B.l⊥α C.l?α D.l?α或l∥α (2)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为u=(-2,0,-4),则l与α的位置关系式( ) A.l∥α B.l⊥α C.l?α D.l与α斜交 (2)题型三 求平面的法向量 例3:已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面ABC的一个法向量. 变式训练3:已知点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0)在平面α内,求平面α的一个法向量. 题型四 共线向量的应用 变式训练4:空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3)则直线AB与CD的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 技 能 演 练 (学生用书P79) 基础强化 1.若n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α法向量的是( ) A.(0,-3,1) B.(2,0,1) C.