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共 63 页 2.4.2 抛物线的简单几何性质 自 学 导 引 (学生用书P51) 1.掌握抛物线的几何性质. 2.了解抛物线的一些简单应用. 1.抛物线的简单几何性质 (1)抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点?一个顶点?一条对称轴?一条准线;它没有对称中心. (2)通过焦点与抛物线相交的弦叫作焦点弦,当焦点弦垂直对称轴时,称为抛物线的通径,它的长度是2p.它是最短的焦点弦.2p决定了抛物线的开口大小,是画抛物线草图的主要数据. (3)如图:AB是抛物线y2=2px(p0)过焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l. ①以AB为直径的圆必与准线l相切; ②|AB|=2(x0+ )(焦点弦长与中点关系); ③|AB|=x1+x2+p; ④x1·x2= ,y1y2=-p2. 2.椭圆?双曲线?抛物线的统一定义 在平面内,若动点M到一个定点F的距离与它到定直线(F不在直线上)的距离之比是常数e,当0e1时,点M的轨迹是椭圆;当e1时,点M的轨迹是双曲线;当e=1时,点M的轨迹是抛物线.椭圆?双曲线?抛物线统称为圆锥曲线. 题型一 求抛物线的标准方程 例1:抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 分析:解答本题可先确定椭圆的短轴,从而确定抛物线的焦点位置,再写出标准方程即可. 解:椭圆的方程可化为 , 其短轴在x轴上, ∴抛物线的对称轴为x轴, ∴设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3, 即 ,∴p=6, ∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x, 其准线方程分别为x=-3和x=3. 规律技巧:用待定系数法求抛物线标准方程的步骤: (1)定位:确定焦点的位置,设出相应的标准方程; (2)列方程:寻找关系列出关于p的方程; (3)求解:解方程求得p,代入所设方程. 变式训练2:抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为 则焦点到AB的距离是__________. 解析:如下图所示,由于|AB|= ,∴yA= ,代入y2=4x得,x=3.即AB的方程为:x=3,又F(1,0),∴焦点F(1,0)到直线AB的距离为2. 题型三 焦点弦问题 例3:斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于两点A?B,求线段AB的长. 分析:利用弦长公式或抛物线的定义求解. 解:解法1:如下图,由抛物线方程可知,焦点F(1,0),因而直线AB的方程为y=x-1,代入y2=4x得x2-6x+1=0,设A(x1,y1)?B(x2,y2), 则x1+x2=6,x1·x2=1 解法2:设A(x1,y1),B(x2,y2)由抛物线的定义知,|AF|等于点A到准线x=-1的距离|AA′|,即|AF|=|AA′|=x1+1,同理|BF|=x2+1 ∴|AB|=|AF|+|BF| =x1+x2+2 =6+2=8. 规律技巧:(1)解法1利用“设而不求”的思想方法,利用韦达定理及两点间的距离公式求解,也可以代入弦长公式 还可以求出方程x2-6x+1=0的两个根x1=3+2?,x2=3-2?,进一步求出y1,y2代入两点间距离公式. (2)抛物线y2=2px(p0)上一点A(x0,y0)到焦点F( ,0)的距离|AF|=x0+ ,这就是焦半径公式,过焦点F的弦长|AB|=x1+x2+p.(其中x1,x2分别是点A?B的横坐标) 变式训练3:过抛物线y2=2px(p0)的焦点作倾斜角为θ的直线l,交抛物线于A?B两点. (1)求|AB|; (2)求|AB|的最小值. 题型四 直线与抛物线的综合问题 例4:求过点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程. 分析:结合题意画出草图,结合图形分析直线与抛物线只有一个公共点的不同情况. 解:如图所示. (1)若直线的斜率不存在,则过点P(0,1)的直线方程为x=0.显然只有一个公共点,即直线x=0与抛物线只有一个公共点. (2)若直线的斜率存在,设过点P的直线方程为y=kx+1,由 得k2x2+2(k-1)x+1=0,当k=0时,解得y=1, 即直线y=1与抛物线只有一个公共点. 当k≠0时由Δ=4(k-1)2-4k2=0,得k=?. 即直线y=?x+1与抛物线只有一个公共点. 综上所述,所求直线方程为x=0或y=1或y=?x+1. 规律技巧:直线与抛物线只有一个公共点,直线不一定与抛