sect;5 曲线拟合的最小二乘法PPT.ppt

§5 曲线拟合的最小二乘法 一般的最小二乘逼近(曲线拟合的最小二乘 法)的一般提法是: 对给定的一组数据 ,要求在函数类 中找 一个函数 ,使误差平方和 其中 带权的最小二乘法： 其中 是［a, b］上的权函数。 用最小二乘法求曲线拟合的问题，就是在 中求一函数 ，使 取的最小。它转化为求多元函数 的极小点 问题。由求多元函数极值的必要条件，有 若记 则上式可改写为 这个方程称为法方程，矩阵形式 其中 由于 线性无关，故 ，方 程组存在唯一解(Haar条件) 从而得到函数 的最小二乘解为 可证 故 是所求最小二乘解。 例 :已知一组实验数据,求它的拟合曲线。 解：根据所给数据知，可选择线性函数作拟合曲 线。 令 这里 故 由方程组 所求拟合曲线为 例： 在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓 度与时间关系如下表，求浓度y与时间t的拟合曲 线 解：将数据标在坐标纸上，可发现数据符合双曲 线函数或指数函数。 1)双曲线函数拟合 双曲线型： 即 为了确定 令 由数据表t, y生成数据表 于是可用 的 线性函数 拟合数据 。方法与上例一样解方程组 得 从而有 其各点误差为 2）指数函数拟合 拟合曲线形如 两边取对数 为了确定 令 拟合数据的曲线仍为 用上例的方法计算出 从而 最后求得 各点误差为 3)两个模型的比较 本例经计算可得 均方误差为 由此可知 都比较小，所以用 作拟合曲线较好。 确定拟合曲线的数学模型需要选择比较。 用正交函数作最小二乘拟合 法方程组系数矩阵G是病态的，但如果 是关于点集 带权 正交的函数族，即 则方程的解为 且平方误差为 根据给定节点 及权函数 ， 造出带权 正交的多项式 。注 意 ，用递推公式表示 ，即 其中Pk(x)是首项系数为1的k次多项式，且 证明：用归纳法（略）。 用正交多项式 的线性组合作最小二 乘曲线拟合，只要根据公式逐步求 的同时， 相应计算出系数 并逐步把 累加到 中去，最后就可得 到所求的拟合曲线 这里n可事先给定或在计算过程中根据误差确定。 用这种方法编程序不用解方程组，只用递 推公式；当逼近次数增加一次时，只要把程序 中循环数增加1，其余不用改变。此为目前用多 项式作曲线拟合最好的方法。 多元最小二乘拟合 已知多元函数 的一组测量数据 ，以及一组权数 要求函数 使得 最小，这与前面讲的极值问题完全一样，系数 同样满足法方程，只是这里 求解法方程组就可得到 ，从而得到， 称为函数 的最小二 乘拟合。 §6 近似最佳一致逼近多项式 由韦尔斯特拉斯定理知存在最佳一致逼近多项 式（伯恩斯坦多项式） 一、截断切比雪夫级数 利用切比雪夫多项式良好的逼近性质求近 似最佳一致逼近多项式。 如果 ，按 展成广义富 利叶级数，由正交多项式展开公式（在 满 足一定条件下可一致收敛） 可得