复变函数习题三复变函数习题三.docx

习题三 ()1. 下列数列是否收敛?如果收敛，求出它们的极限.（1）; （2）;（3）; （4）．解化为实部与虚部两个实数分别讨论. 1），，，故收敛于.故收敛于零。3) ，极限不唯一，所以发散.4），极限为0，收敛.2. 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性.（1） ; （2）;（3）; （4）．解 (1)一般项，而，为收敛的交错级数，所以收敛.但，发散，故条件收敛.(2) 因为级数,,所以，由比值收敛法得收敛，所以原级数绝对收敛.(3) 因为,所以原级数是发散的.(4) 一般项，而，为收敛的交错级数，所以收敛，但，所以发散，故条件收敛.3. 试确定下列幂级数的收敛半径.（1）; （2）;（3）；（4）．解 (1) ,所以此级数的收敛半径.(2) ,所以此级数的收敛半径.(3) ,所以此级数收敛半径为. (4) ,所以此级数收敛半径为.4. 把下列各函数展开成的幂级数，并指出它们的收敛半径.（1）; （2）;（3）；（4）;（5）；（6） ;（7）; （8）. 解 (1) ,即，所以其收敛半径为.由, 所以，收敛半径.由得，收敛半径.(4) 由及得，收敛半径.(5) .(6) ，，则, .(7) 由得而故, 收敛半径.（8）.5．求下列各函数在指定点处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径.（1），; （2），;（3），; （4）， ;（5），; （6），，．解 (1) , .(2) 当，即时当，即时故当时，上式两展开式同时成立，即有收敛半径.(3) 由两边求导得收敛半径.(4) 这里或，收敛半径.(5) ，收敛半径.(6)收敛半径为.6．求下列罗朗级数的收敛域.（1）；（2），．解 (1) 由题可知此罗朗级数应满足和都收敛，因此有，，得收敛域为.(2) 由题可知此罗朗级数应满足和都收敛.因此有,, 得收敛域为.7．把下列各函数在指定的圆环域内展开成罗朗级数.（1），;（2），，;（3），，;（4），;（5），，，;（6），，;（7）， ;（8）, ．解 (1) .(2) 当时，由两边求导得所以当时，从而.(3) 当时,原式, .当时,原式, .(4) =. (5) 当时，即原式.当时，即原式(6)当时，，，则,当时，，则.(7) ，当时，而，,则.(8) =.习题三 ()1. 考察级数的敛散性.解：因为发散，故发散2. 证明: 如果, 那么.证：因为所以 ，，当时,成立又因为所以 .3. 幂级数能否在收敛而在发散?答：不能，因为在收敛，根据阿贝尔定理，级数必在内绝对收敛，而在圆域内，故该级数在处收敛。4. 将及展为的幂级数.解：（1）= = =.解法二：在复平面上解析，其幂级数展开式的收敛半径R=+，又因为=esin,= = f(z)=esin故f=esin,从而 esinz==解法三：因为e=1+z+，故由幂级数的乘法法则得同理：= = = =5. 试确定下列幂级数的收敛半径.（1）; （2）. 解：(1)因为 ，所以. (2)因为 ，所以.6. 记, 由公式, 借助级数收敛的充要条件, 证明: 当时,（1）; （2）.证明：因为7. 将下列函数展为幂级数.（1）; （2）; （3）.解：（1）因为，所以，. (2) (3) 8. 将下列函数在指定圆环内展为罗朗级数.（1）, ；（2）, .解：（1)