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第一章 复数及其表示，运算，几何意义，点集与区域，复变函数，极限与连续性 复数及其表示 实部，虚部 z=x+iy 复数的模 任意两个复数不能比较大小。 共轭复数 复数的表示方法 1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法 幅角主值如下： 复数的乘幂与方根 1. 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 3.复数的方根 区域 1. 区域的概念 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与多连通域 习题：请依次写出的代数、几何、三角、指数表达式和的3次方根。 ： 复变函数的极限与连续性 1. 函数的极限 定义中的方式是任意的 与一元实变函数相比较要求更高. 2. 运算性质 3. 函数的连续性 第二章 解析函数 复变函数的导数定义 (1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 (2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z) (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。 (2) 在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举。 解析函数的概念 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f (z)在z0解析；如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数(全纯函数或正则函数）。如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。 定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann方程 上述条件满足时,有 答案： 初等函数 1. 指数函数 2. 三角函数和双曲函数 —称为双曲正弦和双曲余弦函数 3. 对数函数 4. 乘幂与幂函数 —一般为多值 5. 反三角函数与反双曲函数 习题: 答案： 第三章复变函数的积分 §3.1 复变函数积分的概念 §3.2 柯西-古萨基本定理 §3.3 基本定理的推广 §3.4 原函数与不定积分 §3.5 柯西积分公式 §3.6 解析函数的高阶导数 §3.7 解析函数与调和函数的关系 习题1： 答案： 习题2： 答案： 第四章 级 数 1.复数列的极限 定理1 性质：， 定理2 定理3 定理4 2. 幂级数 称为幂级数 定理1 (阿贝尔(Able)定理） 收敛半径的求法 定理2 (比值法) 定理3 (根值法) 定理（泰勒展开定理） 罗朗(Laurent)级数 习题： 答案 第五章 留数 定义　设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。 留数定理 规则I 规则II 规则III 求下列各函数在其孤立奇点的留数。 (1) ; (2) ; (3) . 解：（1） 为的可去奇点, ; （2） 为的三阶极点, 为的一阶极点, , ; （3） 为的本性奇点, , 。 第六章共形映射 保角性： 保交比不变性 习题： 答案： 七、傅里叶变换 （1）己知 F，求函数的傅里叶变换； （2）求函数的傅里叶逆变换。 解 （1） F, F; （2） F-1F-1 , 定义