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复变函数期末复习 一 知识点 1第一章主要掌握复数的四则运算，复数的代数形式、三角形式、指数形式及其运算。 2 第二章主要掌握函数的解析性，会判断函数是否是解析函数，会求解析函数的导数。 3 第三章掌握复变函数积分的计算，掌握柯西积分公式，掌握解析函数与调和级数的关系。 4 第四章掌握复数项级数的有关性质，会把一个函数展开成泰勒级数。 5 第五章掌握将函数展开为洛朗级数，掌握孤立奇点的分类及判断。 6 第六章掌握留数的计算，掌握用留数计算积分，掌握利用留数计算三类实积分。 二 例题选讲 1求的值。 知识点：利用定义。 解 ====。 设，试证：。知识点：复数，复数的模，共轭复数之间的关系。 证明：由得，，== 3求的值。知识点：初等函数的定义，函数值的计算，， 解： == =， 4 证明。 证明。 知识点：复数模的计算，复数模共轭复数的关系。 证明： = =。 5 设三点适合条件，试证明三点是一个内接于单位圆周的正三角形的顶点。 知识点：利用平行四边形公式。 解：由得，= 所以，同理，，所以三点是一个内接于单位圆周的正三角形的顶点。 6 求极限。知识点：这是型，用洛必达法则。 解 =====3。 7 试证明在平面上解析，并求导其导数。 知识点：利用柯西—黎曼条件，利用双曲函数的定义。 解：，， ，，以上四个偏导数在复平面上连续，且满足柯西—黎曼条件，在平面上解析，其导数为 。 8验证是平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使得。知识点：调和函数的定义，调和函数和解析函数的关系。 解 由得，， ， 所以，所以是平面上的调和函数.由柯西—黎曼条件得=，所以，，从而，由得，所以。 9 设函数在区域内解析，试证： 知识点：解析函数的导数的计算。 解：设函数，则 ，， ， 而解析函数的实部与虚部是调和函数，，所以有。 11试证在复平面上解析，并求其导数。 知识点：利用柯西—黎曼条件判断函数的可导性与解析性。 证明：，，，，，以上四个偏导数在复平面上连续，且满足柯西—黎曼条件，所以在复平面上解析，其导数为。 12验证在右半平面内是调和函数，其中。 知识点：调和函数的定义，解析函数和调和函数的关系。 解：， ，，于是，因此在右半平面内是调和函数。 13 设函数在解析,并且它不恒为常数.证明：若为的m阶零点的充要条件是为的m阶极点. 知识点；极点和零点的关系。 证明：若为的m阶零点，则，其中在点的某个邻域内解析且，所以， 在点的某个邻域内解析且，所以为的m阶极点. 14将在内展开成罗朗级数。 知识点：利用，以及逐项求导，将分式写成部分分式的和。 解 设= == 15 将按的幂展开成幂级数。知识点：把函数展开成泰勒级数和洛朗级数。 解：= =， 16将在内展开成幂级数 知识点：利用，以及逐项求导，将分式写成部分分式的和。 解 设=， 去分母得 ， 取，得 取，得， 取，得，所以== 17 知识点：利用留数定理或柯西积分公式。 解；由得，这些点都是函数的一阶极点，都在内。 = 而 所以= 18 知识点：利用留数定理或柯西积分公式。 解；由得，这是函数的二阶极点，而且在内。= 而 =，所以=0. 19 知识点；令，则, ,然后化成复变函数沿闭曲线的积分，用留数定理来计算。 解 令，则，被积函数有两个一级极点， 因为只有，所以只有在单位圆内 ，所以= 20 计算积分 知识点：利用留数定理或柯西积分公式。 解：被积函数有两个极点，这两个极点都在圆周内，因此=而== 同理，所以=. 21计算积分。 知识点：利用留数定理计算实的积分。 解：被积函数是偶函数，所以，而=，于是有。 22 计算积分. 知识点：利用留数定理 解：被积函数有两个极点，这两个极点都在圆周内 因此=，而== 而，所以=。 23计算积分 知识点：利用留数定理或柯西积分公式。 解；由得，这些点都是函数的一阶极点，而只有时奇点才在内。=， 而，，所以 24计算积分 知识点：利用留数定理计算实的积分。 解：被积函数有两个极点，只有极点在上半平面内 所以=，== 25求方程在内根的个数。知识点，利用儒歇定理。 解：设，在在，内解析，在上连续，且在上，，，所以在上，，因此与，在内有相同的零点个数，所以在内有4个根。 26 设在内解析, 在边界上， 证明在内存在一点使得。