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本章应着重了解： 分位点的概念及应用 随机向量 条件期望 大数定律与中心极限定理的本质及应用 五、随机变量的数字特征 1、矩 协方差阵与相关矩阵： 第一章 概率论基础知识 协方差矩阵： 若X=(X1,X2,…Xn)T为n维随机向量，则其数学期望为 E(X)= (E(X1),E(X2),…E(Xn))T 其协方差矩阵为 五、随机变量的数字特征 1、矩 第一章 概率论基础知识 若以ρij记Xi与Xj的相关系数，则X的相关矩阵为: 相关矩阵： 结论： 随机向量的协方差阵和相关阵都是对称且半正定的. 五、随机变量的数字特征 2、条件期望 第一章 概率论基础知识 定义： 设X有数学期望E(X)，且当给定Y=y时X的条件分布为F(x|y)，则 为给定Y=y时X的条件期望，记作E(X|Y)或E(X|Y=y)。 记g(y)=E(X|Y=y). 称随机变量g(Y)为给定Y时X的条件期望， 记作E(X|Y)。 例1. 记X1,X2,i.i.d. 且Xi~B(1,p), X=X1+X2,求E(Xk|X). 解：由定义，有 五、随机变量的数字特征 第一章 概率论基础知识 E(Xk|X=i)=1?P(Xk=1|X=i)+0?P(Xk=0|X=i) =1?P(Xk=1|X=i)=i/n 因此，E(Xk|X)=X/n. 条件期望的例题 例2. 一射手进行射击,击中目标的概率为p?,射击直到击中目标两次为止.设以X表示首次击中目标所进行的射击次数,以Y表示第二次击中目标的射击次数.试求条件期望E(X|Y=n). 五、随机变量的数字特征 第一章 概率论基础知识 条件期望的例题 例3. 若X与Y是相互独立的，证明E(Y|X)=E(Y). 五、随机变量的数字特征 第一章 概率论基础知识 条件期望的性质 * * * 应 用 数 理 统 计 Applied Mathematical Statistics 教学时数： 32 学 分： 2 主 讲： 孙薇 单 位：理学院数学系 课 程 的 地 位 Importance of the Course 对于理工科的研究生来讲，应用数理统计是最重要的基础课程之一。 在数理统计中，同学们不仅可以学到处理随机性数据的具体的学科知识，而且还能受到严谨细密的思维方法和科学精神的熏陶。 研究生课程与本科生有许多区别。比如难度大、进 度快、讲课不再面面具到。要想尽快适应这种学 习，加强预习是个好方法。这里讲的预习，不仅仅 是课前5分钟翻翻书，而是安排专门的时间，按照指 定的进度有计划地预习新内容。预习中不能光阅 读，还要钻研概念、推导证明、演算例题，查表计 算，等等。坚持预习也是培养自学能力的好方法。 第一章 概率论基础知识 概率论是数理统计的理论基础，为了使它 们能更好地衔接起来，本章扼要地复习概 率论的基本概念、定理与公式。 一、事件及其运算 第一章 概率论基础知识 1. 基本事件：随机试验中，每个可能出现的结果； 样本空间：全体基本事件组成的集合； 事件：样本空间的子集，常用A、B等表示； 事件发生、不可能事件、必然事件； 互斥事件、对立事件。 2. 事件的运算（与集合运算对应） （1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA； （2）分配率：A(B ∪ C)=AB ∪AC，A(B-C)=AB-AC （3）结合律：A(BC)=(AB)C=ABC, A ∪(B ∪ C)=(A ∪ B) ∪C=A ∪ B ∪ C 二、概率 1. 概率的定义 第一章 概率论基础知识 设Ω为样本空间，F为所有事件的全体。如果定义在F上的函数P(?)满足如下性质，则对于F中的任意元素A，称P(A)为事件A发生的概率，P为F上的概率测度，(Ω,F,P)为概率空间。 （1）0 ≤ P(A) ≤ 1 （2）P(Ω)=1 （3）对两两互斥的事件序列A1,A2,…Ak…，有 第一章 概率论基础知识 二、概率 （1） 不可能事件的概率为零 P（?）= 0; （2） P(A∪B)= P(A)+ P(B)－ P(AB) . 2. 概率的性质 第一章 概率论基础知识 （1）条件概率定义： 设A、B是两个随机事件，且P(A)＞0，则称 事件A发生的条件下事件B 发生的