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公务员考试单的统筹规划问题
系列专题讲座(四)??简单的统筹规划问题 赵民强 ????导读:最 优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象,即要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下,努力争取获得在允许范围内的最佳效益.因此,最优化问题成为现 代应用数学的一个重要研究对象,它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛的应用.作为数学爱好者,接触一些简单的实际问题,了解一些优化的思想是十分有 益的.现在通过几个例题,学习一些简单的知识和解题方法。也介绍了一点不定方程的知识,只供学有余力的学生进一步学习的参考。 ????例1、 妈妈让小明给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟,烧开水要用15分钟.洗茶壶要用1分钟,洗茶杯要用1分钟,拿茶叶要用2分钟.小明估算了一下,完成这些工作要20分钟.为了使客人早点喝上茶,按你认为最合理的安排,多少分钟就能沏茶了?
????分析:?本题取自华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》.烧水沏茶的情况是:开水要烧,开水壶要洗,茶壶茶杯要洗,茶叶要取.怎样安排工作程序最省时间呢?
????办法甲:洗好开水壶,灌上凉水,放在火上,在等待水开的时候,洗茶杯,拿茶叶,等水开了,沏茶喝.
????办法乙:先做好一切准备工作,洗开水壶,洗壶杯,拿茶叶,灌水烧水,坐等水开了沏茶喝.
????办法丙:洗开水壶,灌上凉水,放在火上坐待水开,开了之后急急忙忙找茶叶,洗壶杯,沏茶喝.
????谁都能一眼看出第一种办法好,因为后两种办法都“窝了工”.
????开水壶不洗,不能烧开水,固为洗开水壶是烧开水的先决条件,没开水、没茶叶、不洗壶杯,我们不能沏茶,因而这些又是沏茶的先决条件.它们的相互关系可以用下图的箭头图来显示.
????箭杆上的数字表示完成这一工作所需的时间,例如→表示从把水放在炉上到水开的时间是15分钟.从图上可以一眼看出,办法甲总共要16分钟,而办法乙、丙需20分钟.
????洗壶杯、拿茶叶没有什么先后关系,而且是由同一个人来做,因此可以将上图合并成下图.
????解:?先洗开水壶用1分钟,接着烧开水用15分钟,在等待水开的过程中,同时洗茶杯、拿茶叶,水开了就沏茶,总共用了16分钟.又因为烧开水的15分钟不能减少,烧水前必须用1分钟洗开水壶,所以用16分钟是最少的.
????说明:本题涉及到的统筹方法,是生产、建设、工程和企业管理中合理安排工作的一种科学方法,它对于进行合理调度、加快工作进展,提高工作效率,保证工作质量是十分有效的.
????例2、用一只平底锅煎饼,每次能同时放两个饼.如果煎1个饼需要2分钟(假定正、反面各需1分钟),问煎1993个饼至少需要几分钟?
????分析:?由于1993数目较大,直接入手不容易.我们不妨先从较小的数目来进行探索规律.
????如果只煎1个饼,显然需要2分钟;
????如果煎2个饼,仍然需要2分钟;
????如果煎3个饼,初学者看来认为至少需要4分钟:因为先煎2个饼要2分钟;再单独煎第3个饼,又需要2分,所以一共需要4分钟.但是,这不是最佳方案.最优方法应该是:
????首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟;
????其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟;
????最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟;这样总共只用3分钟就煎好了3个饼.
????解:如果煎1993个饼,最优方案应该是:
????煎第1、2、3号饼用“分析”中的方法只需要3分钟;煎后面1990个饼时,每两个饼需要2分钟,分1990÷2=995(次)煎完,共需要2×995=1990(分钟);这样总共需要3+1990=1993(分钟).
同学们再考虑一下:煎2006张,2007张各应如何解?从中总结出规律。
说明:通过本例可以看出,掌握优化的思想,合理统筹安排操作程序,就能够节省时间,提高效率.
????例3、5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水,他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟.如果只有一个水龙头,试问怎样适当安排他们的打水顺序,才能使每个人排队和打水时间的总和最小?并求出最小值.
????分析:?5个人排队一共有5×4×3×2×1=120种不同顺序,把所有情形的时间总和都计算出来,就太繁琐了.凭直觉,应该把打水时间少的人排在前面,则后面等的人所费的总时间会省些.
????解:首先 需1分钟的人排在第一位置,需1×5=5分钟
????需2分钟的人排在第二位置,共需2×4=8分钟
????需3分钟的人排在第三位置,共需3×3=9分钟
????需4分钟的人排在第四位置,共需4×2=8分钟
????需5分钟的人排在第五位置,共需5分钟
????所以共用时:1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35(分钟).
????说明:?排队提水的问题,在其他一些场合也是会遇到的.例如,有一台机床要
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