大学数学教案第7章大学数学教案第7章.doc

第七章 定积分 第一节 定积分的概念 教学目标：1、了解定积分的定义 2、掌握曲边梯形的面积求解 3、理解曲边梯形的几何意义 教学重点：定积分的定义 教学难点：定积分的定义教学过程： 定积分问题举例 例1：求曲边梯形的面积 曲边梯形的应用 基本步骤： （1）分割 （2）近似代替 （3）求和 取极限 例2：求变速直线运动的路程 当物体做匀速直线运动时，有公式 路程=速度时间 当变速直线运动时， 且连续） 如何求物体从时刻到时刻所经过的路程s？ 分割 近似代替 求和 （4）取极值 2、定积分的定义 定义：设函数f*(x)在区间[ a,b ]内任意插入n –1个分点 把区间[ a,b ]分成 n个小区间 每个小区间的长度依次为 ……在每个小区间上任取一点作乘积 （i=1,2,3^^^^^）并作和此和称为f(x)在[ a,b ]上的积分和，也称为黎曼和。 记如果不论对[ a,b ]采取怎样的分法，也不论在小区间上点怎样取法，当时，和式总有确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在[ a,b ]上的定积分，也称为黎曼积分 记作：即 = 其中f(x)为被积函数，x 为积分变量，f(x)dx为被积表达式，[ a,b ]称为积分区间，a称为积分下限，b成为积分上限。 注意：如果定积分存在，则积分值只与被积函数与积分区间有关，而与区间的分法和点的取法是无关的，而且与积分变量用什么字母来表示是无关的，所以有 == 则前面的实际问题可以表示为： 定理1：（可积的必要条件） 若函数f(x)在[ a,b ]上是可积的，则函数f(x)在[ a,b ]必定是有界的。 定理2：（可积的充分条件） 设函数f(x)在[ a,b ]上有定义，若函数f(x)满足下述的条件之一： 函数f(x)在[ a,b ]是连续的； 函数f(x)在[ a,b ]上只有有限个间断点，且有界 函数f(x)在[ a,b ]上是单调的 则函数f(x)在[ a,b ]上是可积的。 3、定积分的几何意义 例1：计算定积分 例2：利用定积分的几何意义，求 的值。 定积分的性质 教学目标：掌握定积分的7个性质，并能应用性质解决一些相关问题。 教学重点：定积分的性质 教学难点：定积分性质的应用 教学过程： 性质1 如果函数f(x)和g(x)在[ a,b ]上可积，则在[ a,b ]上也是可积的，且 性质2 如果函数f(x)在[ a,b ]上可积，k是任意常数，则kf(x)在[ a,b ]上可积，且 性质3 设函数f(x)在[ a, c],[ c,b ]及[ a,b ]上都是可积的,则有 \ 其中c可以在[ a,b ]之内,也可以在[ a,b ]之外. 性质4:如果在区间[ a,b ]上,,则f(x)在[ a,b ]上可积,且 可仿效定理1证明 性质5: 如果函数f(x)在[ a,b ]上可积,且对[ a,b ]内任意点x,有,则 推论 :如果函数f(x),g(x)在[ a,b ]上都可积,且对任意,有,则 性质6: 设函数f(x)在[ a,b ]上可积，且M,m分别是f(x)在[ a,b ]上的最大值与最小值，则 性质7：（定积分中值定理） 设函数f(x)在[ a,b ]上连续，则在[ a,b ]上至少存在一点，使 定积分中值定理的几何意义：在[ a,b ]上至少存在一点，使以[ a,b ]为底边，以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积与同一底边而高为的一个矩形面积相等。 例1：试估计定积分的值的取值范围。 例2：不计算定积分的值，试比较与的大小。 第三节 微积分基本公式 教学目标：1、理解变上限积分函数的定义 2、掌握牛顿—莱布尼兹公式并能熟练应用 教学重点：牛顿—莱布尼兹公式 教学难点：理解变上限积分函数的定义 教学过程： 变速直线运动中路程函数与速度函数之间的联系 设一物体做变速直线运动，路程函数为s(t)速度函数为v(t) 变动上限的积分及其性质 设函数f(x)在区间上连续，则f(x)在区间上可积，即 函数的几何意义是上面图形的右侧直边可以移动的曲边梯形的面积。如图这个曲边梯形的面积随x的位置的变动而改变，且当x给定后，面积也随之而定。 积分上限函数=具有下面的重要性质。 定理1：若函数f(