大学数学教案第9章大学数学教案第9章.doc

第九章 行列式与线性方程组 教学目标： 掌握二阶行列式与二元线性方程组的定义及性质 掌握行列式的性质及算法 掌握线性方程组的行列式解法 教学重点： 1、行列式的性质及展开 2、线性方程组的行列式解法 教学难点： 线性方程组的行列式解法 教学过程： 二阶行列式与二元线性方程组 引入： 九宫之义，法以灵龟； 二四为肩，六八为足； 左七右三，戴九履一， 五居中央 四四图 （ 34 ） 考察两个二元线性方程所组成的方程组 ………………（1） 消去y得 ……（2） 同理消去x可得 （a1b2—a2b1）y=a1c2--a2c1…………（3） 如果代数式（a1b2—a2b1），就可以用它去除（2）（3）的两边得 ……（4） 为了使（4）的结果记忆方便，我们引入二阶行列式的概念。 2、定义： …………（5） 其中a1,a2,b1,b2称为行列式的元素，横排称为行列式的行，竖排称为行列式的列。 性质： （1） （行列式的第i行改为第i列，第i列改为第i行，行列式的值不变。） （2） （二阶行列式两列（或两行）对调，则行列式的值要改变符号） 方程组（1）的解（4）用行列式表示为 方程组（1）的 系数行列式 分子行列式， 所以方程组的解可表示为 注 若，则方程组（1）有唯一一组解。 若=0，x与y至少有一个不为零，则方程组（1）无解。 若=x=y=0，则方程组（1）有无限多组解。 3、例题： 例1 解方程组. 例2 解方程组. 例3 解方程组 4、作业： 5、课后小结： 第二节 三阶行列式概念及其性质 三阶行列式 用二阶行列式可以解二元线性方程组，一般地，可以用n阶行列式解n元线性方程组。下面我们只对用三阶行列式解三元线性方程组加以讨论，因此我们先给出三阶行列式的概念。 定义： 三阶行列式的计算可按图得出： 例题： 计算三阶行列式的方法称为对角线法则. 例1 计算 三阶行列式的性质 性质1： 把行列式的第i行改为第i列，第i列改为第i行，行列式的值不变，即 性质2： 对调行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号,但绝对值不变.如 (可用对角线法证明) 性质3: 有两行(或两列)相同的行列式的值必为零. 证明: 性质4: 把行列式的某行(或某列)所有元素同乘以某数k的结果等于以数k乘以这个行列式,如 = k 推论1:一个行列式中某一行(或某一列)各元素的公因子可以提到行列式记号的外边 推论2:如果一个行列式中有一行(或一列)的元素全为零,则这个行列式为零 性质5:如果行列式的两行(或两列)的对应元素成比例,则这个行列式为零. 性质6:如果行列式的一行(或一列)的元素都是两项式,那么这个行列式等于两个行列式的和。 证明： 性质7：把行列式的某一行（或某一列）所有元素同乘以一数后，加于另一行（或另一列）的对应元素，则行列式的值不变。 3、为了叙述、书写方便，我们约定： (1)记号 “”表示第i行的公因子(提出来; (2)记号 “(i , j)”表示将第i行与第j 互换 (3)记号 “ i+(j”表示将第j行的(倍加到第i行上去. 注：由于性质2—性质7对行列式的列也成立，我们也可以用上面的记号表达对行列式的列变换。为了区别起见，当进行行变换时，将记号写在等号上方，当进行列变换时，将记号写在等号的下方。若在等号上（下）方同时出现几个记号时，则按顺序由上至下进行。 4、例题： 例2 计算 例3 计算. 例4 用行列式性质证明. 例5 利用行列式性质证明=. 5、课后小结： 第三节 行列式的按行列展开 导入： 三阶行列式我们可以用对角线法则进行计算。要想简化行列式的计算，可以先用行列式性质将行列式变形，再按行或按列展开计算。为了学习这种方法，我们先介绍子行列式与代数余子式的概念。 1、子行列式 把行列式中某一元素所在的行与列划去后，留下来的元素按原来的位置关系组成的行列式，称为这个行列式对应与该元素的子行列式。如： 行列式(对应于元素b3的子行列式为 2、代数余子式 设行列式中某一元素所在的行数为i，列数为j。将对应于该元素的子行列式乘上 （-1）i+j所得的式子称为对应于该元素的代数余子式 某元素的代数余子式，用这个元素的大写字母并附以相同的下标表示。如行列式(对应于元素b3的代数余