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第一章 微积分的基础和研究对象 一、教学目的和要求： 1．了解微积分的发展历程。 2．了解极限、实数、集合在微积分中的作用。 3．了解实数系的建立及邻域的概念。 4．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会建立实际问题中的函数关系式。 5．理解函数的简单性质，会判断函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性。 6．掌握基本初等函数的性质及其图形。 7．理解复合函数及分段函数的概念。掌握将一个复合函数分解为基本初等函数或者简单函数的复合的方法。 8．了解MM能力培养。 二、教学难点和重点： 重点： 1．数的性质及其图形。 2．合函数的分解及分段函数的概念。 难点： 1. 函数的概念。 2. 复合函数。 三、教学方法 讲解法 §1 微积分的基础 1.1微积分的发展历程 数学发展史的生动事例表明，许多数学模型，包括数学理论，总是在长期的应用中逐步构建起逻辑基础的。 17世纪上半叶笛卡儿（Descartes,法，1596—1650）创建了解析几何，变量便进入了数学。 随后，牛顿（Newton,英，1642—1727）和莱布尼兹（Leibniz,德1646—1716）集众多数学家之大成，各自独立地发明了微积分，被誉为数学史上划时代的里程碑。微积分诞生不久，便在许多学科中得到广泛有效的应用，大大推动了那个时代科学技术的发展和社会进步。 然而初期的微积分在逻辑上存在着矛盾。粗略地讲，牛顿、莱布尼兹的导数概念是建立在所谓的“无穷小”理论之上的，他们所谓的无穷小，时而是零时而又不是零，这违背了逻辑学中的排中律。（排中律是指在同一论证过程中，对同一对象的肯定判断与否定判断，这两个相矛盾的判断必有一个是真的，即排除第三种情况。）正因此，不少学者对微积分的可靠性产生了怀疑，并且一些思想保守的人物借此提出非难，特别是代表守旧势力的英国红衣大主教贝克莱（Berkeley,1685—1753），从维护宗教神学的利益出发，亟力反对蕴含运动变化这一新潮思想的微积分。数学界、哲学界、宗教界的许多人围绕微积分的逻辑基础问题展开了激烈的争论，被数学史界称为第二次数学危机。 1.2极限、实数、集合在微积分中的作用。 微积分在长达两个世纪的自身理论完善过程中，法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯先后建立了极限理论，其中包括摒弃牛顿、莱布尼兹的含混不清的“无穷小”概念，而代之以“以零为极限的变量为无穷小量”的明确定义，从而解决了微积分的逻辑基础问题，也就消除了第二次数学危机。可见极限是微积分的理论基础。 极限是微积分的理论基础，然而极限作为运算不总是通行无阻的，例如在有理数范围内就可能行不通。譬如，由的不足近似值构成的有理数序列 1，1.4，1.41，1.414，1.4142，… 若在有理数范围内来考察，就不存在极限。但在实数范围内来考察，它的极限就是。可见实数是极限的理论基础，进而可知实数是微积分的基础。 数学家及哲学家，喜欢考察数学为什么是可靠的。在19世纪那个时期，数学家们认识到微积分的可靠性建立在极限的基础之上，而极限的可靠性建立在实数的基础之上，再追问，再研究，又发现，实数的可靠性来源于自然数。当时认为，由于自然数在人类几千年的德社会生产活动中发现最早，接触最多，贴近实际最近，而且长期使用中未出现矛盾，因而自然数的可靠性是不被怀疑的。于是自然数便成了实数的基础，进而自然数成了微积分的基础。 数学家们对数学基础的研究并未到自然数为止。19世纪末，又认识到自然数可由德国数学家康托儿提出的集合来定义，于是微积分的可靠性就取决于集合论的可靠性。因而集合又成了微积分的基础。而微积分又是现代数学的基础知识，于是几乎全部数学都可以建立在集合基础之上。可见集合是整个数学大厦的基石。 通过前面的介绍，我们体会到，对微积分基础的研究大大推动了微积分的完善和发展，这无疑是对的。然而这仅仅体现了数学发展动力的一个方面，即由数学自身矛盾运动产生的内部力量。还应认识到数学发展动力的另一个方面，即由人类社会实践所产生的外部力量。17世纪资本主义生产力的发展正是推动微积分产生和发展的外部力量。 关于数学的可靠性问题，我们固然应该根据数学科学的特点追求数学的逻辑可靠性，但最终还要符合实践的可靠性，即数学的可靠性尚需介绍社会实践的检验。 1.3实数系的建立及邻域的概念。 一、实数系的演变及性质 自然数集（N）(0,1,2,3,…) 引进负数，整数集（Z）,将正整数集记作Z+ 或N+（即除0外的全体自然数构成的集合） 有理数（Q） 二。、有理数的性质： 任一有理数都可以写成的形式，其中，且。同整数比较起来，有理数具有整数所没有的很好的性质。 设是任意给定的两个有隶属，则在之间至少存在一个有理数，即（如就满足要求）；同样，在与也至少存在