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1.7 一质点的运动学方程为,x 和y均以为m单位,t以s为单位，试求： （1）质点的轨迹方程；、 （2）在t=2s 时，质点的速度v和加速度a。 解：（1）由运动学方程消去时间t可得质点的轨迹方程，将代入有 或 (2)对运动学方程微分求速度及加速度,即 当t=2s时,速度和加速度分别是 1.8 已知一质点的运动学方程为,其中, ,t分别以 m和s为单位,试求: (1) 从t=1s到t=2s质点的位移； (2) t=2s时质点的速度和加速度； (3) 质点的轨迹方程； （4）在Oxy平面内画出质点的运动轨迹，并在轨迹图上标出t=2s时，质点的位矢,速度和加速度。 解： 依题意有 x=2t （1） y= (2) 将t=1s,t=2s代入，有= ， 故质点的位移为 通过对运动学方程求导可得 当t=2s时，速度，加速度为 由（1）（2）两式消去时间t可得质点的轨迹方程 （4）图略。 1.11 一质点沿半径R=1m的圆周运动。t=0时，质点位于A点，如图。然后沿顺时针方向运动，运动学方程,其中s的单位为m，t的单位为s，试求： （1）质点绕行一周所经历的路程，位移，平均速度和平均速率； （2）质点在第1秒末的速度和加速度的大小。 解： (1) 质点绕行一周所经历的路程为圆周 周的周长，即由位移和平 均速度的定义，可知此时的位移为零，平均速度 也为零，即 ， 令。可得质点绕行一周所需时间 平均速率为 由以上结果可以看出路程和位移，速度和速率是不相同的。 （2）t时刻质点的速度和加速度大小为 当t=1s时， v=9.42m/s a=89.0. 1.14 一质点沿半径为0.1m的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为，的单位为rad,t的单位为s，试求： （1）在t=2s时，质点的切向加速度和法向加速度的大小； （2）当等于多少时，质点的加速度和半径的夹角成。 解：（1）质点的角速度及角加速度为 ， 因此，质点的法向加速度和切向加速度大小为 ， 当t=2s时，， 。 （2）设时刻，和半径夹角为 ，此时，即 144R=24R 得 。 4.6 质量为m的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为。 （1）试求质点的动量； （2）试求从t=0到t=这段时间内质点受到的合力的冲量，并说明在上述时间内，质点的动量是否守恒？为什么？ 解：（1）由质点运动学方程得质点速度== 动量为 （2）根据动量定理，合力的冲量为 虽然t=0和t=时质点的动量是一样的，但在上述时间内，由（1）中动量的表达式可以看出动量是时间的函数并不守恒。所以质点的动量不守恒。 4.14 一质点M=10kg的物体放在光滑的水平桌面上，并与一水平轻弹簧相连，弹簧的劲度系数k=100N/m。今有一质量m=1kg的小球以水平速度飞来，与物体M相撞后以的速度弹回，试求: (1) 弹簧被压缩的长度是多少？ （2）小球m和物体M的碰撞是完全弹性碰撞吗？ （3）如果小球上涂有黏性物质，相撞后可与M粘在一起，则（1）（2）所向的结果又如何？ 解： 碰撞过程物体，小球，弹簧组成系统的动量守恒 小球与弹簧碰撞，弹簧被压缩，对物体M有作用力，对物体M，由动能定理得： （1） 弹簧被压缩的长度 m （2） = = J 有动能损失说明是非弹性碰撞。 （3）小球与物体M碰撞后粘在一起，设其共同速度为，根据动量守恒及动能定理 即 此时弹簧被压缩的长度是 m 碰撞后，两物体粘在一起，这种碰撞为完全非弹性碰撞。 3.7 一质量为m，总长为的铁链，开始时有一半放在光滑的桌面上，而另一半下垂，试求铁链滑离桌面边缘时重力所作的功。 解： 重力所作的功，等于铁链势能增量的负值，取桌面为势能零点，因而有 A== 3.8 一沿x轴正方向的力作用在一质量为3.0kg 的质点上。已知质点的运动学方程为,这里x以m为单位，时间t以s为单位。试求： （1）力在最初4.0s内的功； （2）在t=1s时，力的瞬时功率。 解：(1) 由运动学方程