奇妙的幻方奇妙的幻方.doc

知识要点 幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格．一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定要从1开始），每个数占1格，并使每一行、每一列以及两条对角线上的几个自然数的和都相等，这样排列成的数字图形叫做n阶幻方（标准幻方）．其中，相等的和叫做幻和，n叫做阶．幻和＝幻方内所有数字之和÷阶数，奇数阶幻方的中心数＝幻和÷阶数．非标准的幻方不限于连续自然数，右图所示即为一个非标准的三阶幻方． 幻方分为奇数阶幻方和偶数阶幻方．偶数阶幻方又分双偶数阶幻方和单偶数阶幻方（4K型的数叫做双偶数，4K＋2型的数叫做单偶数）． 幻方具有对称性．如下图的四阶幻方就具有丰富多彩的对称性．同一曲线所串连的四个数的和都相等，并且和每行、每列、两条对角线上四个数的和相等，都等于这个幻方的幻和．这就是幻方的对称性． 幻方具有轮换性．如右图所示的幻方，可以看成是先将五阶幻方的前三行移到下面，再把移动后的左边的三列移到右边以后得到的（反过来移动也行）．这样，随你怎样选取5×5的一个方块后必然得到一个五阶幻方，这就是幻方的轮换性． 幻方的构造方法： 学与练（一） 1．奇数阶幻方的构造方法： ⑴　杨辉三阶幻方构造法： 我国古代著名数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍的一种排法，它可以简单地归纳为四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”．“九子斜排”，即以右图中A、B、C、D任一处为起点，按照从小到大的顺序和确定的方向（图中以A处为起点，从向右向下方向），将1～9这九个数依次斜排；“上下对易，左右相更”，即将A处与C处，B处与D处的两个数位置互换；“四维挺出”，即将四边中间的数移到各自箭头所批的位置．这样，一个三阶幻方就编排完了． 训练⑴ ①　用从1开始的连续自然数组成一个十阶幻方，其幻和是多少？ ②　用“杨辉三阶幻方构造法”及3～11编排一个三阶幻方，填入右图中． ③　如右图⑴的3×3的阵列中填入1～9九个自然数，构成了我们熟知的三阶幻方．现有一个3×3的阵列如右图⑵，请选择九个不同的自然数填入这九个方格中，使得其中最大数为20，最小数大于5，而且每一行、每一列及每条对角线上的三个数的和都相等． ④　请编出一个三阶幻方，使其幻和为24，填入右图中． ⑤　如右图所示，在3×3的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，请你在空格中填上适当的数，使方阵的行、列、对角线上的三个数之和均为36． ⑥　把3、4、5、8、9、10、13、14、15编排一个三阶幻方，其幻和是多少？ ⑺　将九个连续自然数填人右图中三行三列的九个方格中，使每一横行、每一竖列及每一条对角线上的三个数之和都等于51． ⑻　在右图中的空格中填入不大于18而且互不相同的偶数（其中已填好一个数），使每行、每列和对角线上三个数之和都等于30． ⑼　把1～9这九个数字填入3×3的方格中，这样，每一行的三个数字组成一个三位数，如果要使第二行的三位数是第一行的2倍，第三行的三位数是第一行的3倍，应怎样填数？ ⑽　诸葛亮只有360名士兵，全部驻守在城上，为了迷惑敌人，不论从哪一面观察，都有100名全副武装的士兵守城（如下图所示）．为了打退敌人的围攻，诸葛亮决定抽调一些士兵突袭敌人，并且不论从哪一面看士兵反而增加了25名，试填出兵力分布图，并求出抽调了多少名士兵？ ⑵　罗伯法（用于编排奇数阶连续自然数幻方）： 这是由法国人罗伯总结出构造奇数阶连续自然数幻方的简单易行的方法．具体方法如下：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的个数：每一个数放在前一个数的右上一格；如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同． 训练⑵ ①　用罗伯法将1～25填入右图中，编排出一个五阶幻方，填入右图中． ②　用罗伯法把5～29这二十五个数构成一个五阶幻方，填入右图中． ③　用罗伯法把7～21这九个数构成一个三阶幻方，填入下图中． ④　用罗伯法把1～49这四十九个数构成一个七阶幻方，填入右图中． ⑶　巴舍法（用于编排奇数阶连续自然数幻方）： 巴舍法，也叫“平移补空法”，其关键是平移补空，这种方法适用于奇数阶幻方，具体编排步骤如下（以五阶幻方为例，用1～25这25个数去填）．①　画图．画出一个五行、五列的正方形，然后分别补出一个凸的、阶梯式的图形；　②　填数．把1～25这