奇数与偶数3奇数与偶数3.doc

奇 数 与 偶 数 江苏省盐城中学 张顺和 一、情景导入 情景I 在桌上放置7枚硬币，每枚硬币正面都朝上. （1）若将其中3枚硬币同时翻转，称为“操作”一次，能否经过有限次“操作”后，使7枚硬币的正面都朝下吗？试一试，并与同伴交流. （2）若将其中4枚硬币同时翻转，称为“操作”一次，能否经过有限次“操作”后，使7枚硬币的正面都朝下吗？试一试，你发现了什么？你能解释其中的原因吗？ 情景Ⅱ 取一根绳子，把绳子的两端染成红色，再在绳子上任取5点，把这5点任意染上红色和蓝色中的一种，然后沿这5点把绳子剪成6段，数一数两个端点颜色不相同的绳子的条数，与你的同伴共同做几次实验，你有何发现？能说明这种现象吗？ 二、奇数、偶数的基本知识 我们知道，整数可以分成两大类：奇数和偶数，如±1、±3、±5，…都是奇数，而O、±2、±4、±6…都是偶数. 一般地，一个整数如果能被2整除就叫做偶数，如果不能被2整除（即被2除余1）就叫做奇数，偶数可以记作2n，奇数可以记作2n-1或2n+1(n是整数). 奇数和偶数有如下一些简单性质： × 奇 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 （1）加、乘法则 +\- 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 偶 （2）奇数≠偶数，奇数+偶数≠0。 （3）两个整数的和与差的奇偶性相同。 （4）整数a与|a|有相同的奇偶性。 （5）如果若干个整数的乘积是奇数，那么每一个因数都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因数是偶数，反过来，也正确。 奇偶性的性质虽然很简单，但只要我们恰当而巧妙地使用，就能有效地解决许多数字问题，包括看上去“无从下手”的问题. 三、例题分析 例1 在1，2，3，…，2006每一个数前任意添加一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数？ 分析 由于加上正、负号是任意的，因此不可能将所有结果一一列出判断.注意到两个数的和与差有相同的奇偶性，故可考虑1，2，3，…2006的和的奇偶性，从而推断所有代数和的奇偶性. 解答 因为1+2+3+…+2006=（1+2006）×2006=1003×2007是奇数，而两个整数的和与差有相同的奇偶数，所以1，2，3，…2006前面任意加上正号或负号后的代数和必为奇数。 另解 因为在每个整数前加上正号或负号，并不改变其奇偶性，而1，2，3，…2006中共有1003个奇数，1003个偶数，所以在这些数前添上正号或负号后，仍然有1003个奇数，1003个偶数，根据奇数个奇数之和为奇数，任意个偶数之和为偶数可知，在1，2，3，…2006前任意加上正号或负号后的代数和为奇数. 反思 这里的2006只是迎合年代，增加其趣味性，实际上只要这些数的奇偶性及个数确定了，就能判断其代数和的奇偶性. 拓展 你能在1，2，3…2006前添加正号或负号，使其代数和等于1吗？等于0吗？还能等于其它值吗？试一试？ 例2 设a、b、c中有两个奇数，一个偶数，试说明（a+1）(b+2)(c+3)一定为偶数. 分析 要说明几个整数的积为偶数，只需得到这些因数中有一个是偶数就可以了. 解答 因为a、b、c中有两个奇数，一个偶数，所以a+b+c为偶数.所以（a+1）+(b+2)+(+3)=(a+b+c)+6为偶数，因此，三个数（a+1）、(b+2)、(c+3)中至少有一个是偶数，所以（a+1）(b+2)(c+3)必为偶数. 反思 本题的解题过程中将三数积为偶数转化为有一个因数是偶数，进而去考虑三数和的奇偶性问题，这样“积”的问题转化为“和”的问题，使解答大大简化，当然，本题也可以根据a、b、c中有两个奇数，一个偶数的情况，分三种类型进行说明，但显然不如上面的方法简捷. 探源 在本题条件不变的情况下，1、2、3三个数据可以用其他三个数据代替，只要这三个数据的和是偶数就可以了，也可以变换条件（如2个偶数和1个奇数），同学们可以自编一些类题，不妨试一试。如江苏省2002年初一竞赛试题第6题是这样的：已知a、b、c三个数中有两个奇数，一个偶数，n是整数，如果 S=（a+2n+1）(b+2n+2)(c+2n+3)，那么（ ） （A）S是偶数 （B）S是奇数 （C）S的奇偶性与n的奇偶性相同 （D）S的奇偶性不能确定 你能解决本题吗？ 例3 在黑板上写上1，2，…,2006，只要黑板上还有两个或两上以上的数就擦去其中的任意两个数a，b，并写上|a-b|，问最后黑板上剩下的数是奇数还是偶数？ 分析 由于擦去的两数是随机的，无法一一进行验证，我们可以从1，2，…2006这2006个数的整体来思考，它有1003个奇数和1003个偶数，所以它们的和的奇偶性可确定，另一方面，每次操作后，数的个数少了1个，和减少了a+b-│a-b│，这是