定积分考点解读定积分考点解读.doc

1．定积分 (1)定积分的定义及相关概念 设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上用分点 a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b. 把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为 Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1. 2．微积分基本定理 如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则＝F(b)－F(a)，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数． 3．定积分的应用 (1)定积分与曲边梯形的面积 定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定： 作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝v(t)dt. 一种思想 定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就． 三条性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行． 一个公式 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算． 双基自测 1．(2011·福建)等于(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B．e－1 C．e D．e＋1 解析　(ex＋2x)dx ＝ ＝(e＋1)－1＝e. 答案　C 2．(2011·湖南)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为(　　)． A. B．1 C. D. 解析　S＝∫－cos xdx＝2∫0cos xdx＝0＝. 答案　D 3．(2011·山东)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为(　　)． A. B. C. D. 解析　由得交点坐标为(0,0)，(1,1)，因此所求图形面积为S＝(x2－x3)dx＝＝. 答案　A 4．如图， 在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是(　　)． A. B. C. D. 答案　A 5．(人教B版教材习题改编)汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是________． 解析　s＝(3t＋2)dt＝＝×4＋4－＝10－＝(m)． 答案　6.5 m　　 考向一　定积分的计算 【例1】　计算下列积分 解　(1)dx＝＝－ln 2. (2)∫0sin2dx＝∫0dx ＝0＝. (3)(cos x＋ex)dx＝(sin x＋ex)|＝1－e－π. (4)y＝＝ ? ?由图形可知： ＝ (1)利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数． (2)根据积分的几何意义可利用面积求积分． (3)若y＝f(x)为奇函数，则－af(x)dx＝0. 【训练1】 解　∫0sin2dx＝∫0dx ＝0＝－. 可利用面积求得－1dx＝ 因此原式＝. 考向二　利用定积分求面积 【例2】　求右图中阴影部分的面积． [审题视点] 观察图象要仔细，求出积分上下限，找准被积函数． 解　解方程组 得，或 ＝＋－6＝18. 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤 (1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积． 【训练2】 求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积． 解　由得交点A(1,1)； 由得交点B(3，－1)． ＝＋ ＝＋＋＝. 考向三　定积分的应用 【例3】　一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动．求： (1)在t＝4 s的位置； (2)在t＝4 s内运动的路程． [审题视点] 理解函数积分后的实际意义，确定被积函数． 解　(1)在时刻t＝4时该点的位置为 (t2－4t＋3)dt＝＝(m)， 即在t＝4 s时刻该质点距出发点 m. (2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间[0,1]及[3,